2020年中考数学一轮专项复习——圆的综合问题(含详细解答)

由天下分享时间：2025/1/20 15:02:01 加入收藏我要投稿点赞

1.（2019绵阳中考第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C为为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD=BE=2，求BF的长．

【解析】证明：（1）∵C是

的中点，∴

的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足

，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，

∴，∴，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵，

∴△BFG≌△CDG（AAS）；

（2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，

∵

，∴∠HAC=∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，

∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴∴BC2=AB?BE=6×2=12，∴BF=BC=2

．

，

2.（2019黔东南州中考第22题12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交与点A、B，

（1）若∠A=30゜，求证：PA=3PB；

（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有?BCP?1(90???P)成立，请你写出推理过程. 2

【解析】（1）证明：PC是⊙O的切线，所以，∠PCB＝∠A＝30°，

由AB是圆O的直径，得：∠ABC＝60°，所以，∠BCP＝∠BPC＝30°，所以，PB＝BC，又BC＝

1AB， 2所以，PB＝OB＝OA，即PA＝3PB （2）PC是⊙O的切线，所以，∠PCB＝∠A，

△ACP中，∠A+∠P+∠ACB+∠PCB＝180°，所以，2∠PCB＝180°－90°－∠P，所以，?BCP?1(90???P) 23.（2019贵港中考第23题）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．

（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA=2，PC=4，求AE的长．

【解析】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90°， ∵OE⊥OA，∴∠AOE=90°，∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°，

∴∠BAO=∠COE，∴△ABO∽△OCE，∴=，∵OB=OC，∴∵∠ABO=∠AOE=90°，∴△ABO∽△AOE，∴∠BAO=∠OAE，过O作OF⊥AE于F，∴∠ABO=∠AFO=90°，

，

在△ABO与△AFO中，，

∴△ABO≌△AFO（AAS），∴OF=OB，∴AE是半圆O的切线；（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线， ∴AF2=AP?AC，∴AF=∴BC=

，∴AO=

，∴AB=AF=2

，∵AC=6，

=3，∵△ABO∽△AOE，

∴

，∴=，∴AE=．

4．（2019湖北十堰中考第22题 8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为

C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝∴△CDE∽△DAE，∴

＝

，即

＝＝2

x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，

＝

∴DE＝4

，x＝

，

∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．

5．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．

(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；

︵(2)如图②，D为AC上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．