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24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
?1?、B?4，?3?两点. 如图，已知抛物线y?x2?bx?c经过A?0，（1）求抛物线的解析式；
（2 求tan?ABO的值；
（3）过点B作BC?x轴，垂足为点C，点M是抛物线上一点，直线MN平行于y轴交直线AB于点N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.
24.解：（1）将A（0，-1）、B（4，-3）分别代入y?x?bx?c
得
2yoAB（第24题图） x?c??1,， ……………………………………………??16?4b?c??3…………………（1分）
解，得b??,c??1…………………………………………………………………(1分)
2 所以抛物线的解析式为y?x2?99（1分） x?1……………………………………………
2
（2）过点B作BC?x轴，垂足为C，过点A作AH?OB，垂足为点H ………（1分）
在Rt?AOH中，OA=1，sin?AOH?sin?OBC?,……………………………（1分）
5
44322，∴OH?,BH?OB?OH?， ………………（1分） 555AH4222在Rt?ABH中，tan?ABO?………………………………（1分） ???BH5511
∴AH?OAsin?AOH?1 x?1， ……………………………………………（1分）
291设点M的坐标为(m,m2?m?1)，点N坐标为(m,?m?1)
22(3)直线AB的解析式为y??那么MN=(m2?91m?1)?(?m?1)?m2?4m； …………………………（1分） 22∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=BC=3
2解方程m?4m=3得m?2?7； ……………………………………………（1分）
2解方程?m?4m?3得m?1或m?3； ………………………………………（1分）
所以符合题意的点N有4个(2?7,7735?2),(2?7,??2),(1,?),(3,?) 2222 ……………………………………………………………………………………（1分）
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5
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分）
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直
线AB的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；
（3）记直线CE与直线AB相交于点F，若?，CD = 4，求BD的长．
EF6A
A 25.解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为点F. ……………………………………………（1分） C ∵∠AEDC =90°，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD =45°， ∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=4，∴CF=2，BC=22，…………………………（1分）
l
D B E 又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，∴CD=2， …………………………………………（1分） （第25题图2）
D B(E) l
∴CD=CF=2，∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………（1分）
（第25题图1）
CF5（2）证明：延长AC交直线l于点G． ………………………………………………（1分） ∵∠ACB = 90°，∠ABC =∠GBC，∴∠BAC =∠BGC．
∴AB = GB．…………………………………………………………………………………（1分） ∴AC = GC．…………………………………………………………………………………（1分） ∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD．
CDGC1 …………………………………………………………………………（1分） ??．
AEGA2∴AE = 2CD． ………………………………………………………………………………（1分）
∴
（3）（I）如图1，当点E在DB延长线上时：
过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，则∠CBD =∠HCB． ∵∠ABC =∠CBD，∴∠ABC =∠HCB．∴CH = BH．………（1分） ∵∠ACB = 90°，∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°． ∴∠BAC =∠HCA．∴CH = AH = BH．
C F
F
D B
E
（第25题图1）
A H G
l
CHCF5∵CG∥l，∴??．
BEEF6设CH = 5x，则BE = 6x，AB = 10x．
在Rt△ABE中，AE?AB2?BE2?8x． 由（2）知AE = 2CD = 8，∴8x?8，得x?1． ∴CH = 5，BE = 6，AB = 10．
HGAH1??，∴HG=3．……………………（1分） BEAB2∴CG = CH + HG = 8．
∵CG∥l，∴
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C
A G
H
l
D E B
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易证四边形CDEG是矩形，∴DE = CG = 8．
∴BD?DE?BE?2．…………………………………………（1分） （II）如图2，当点E在DB上时：
同理可得CH = 5，BE = 6，HG = 3．…………………………（1分） ∴DE?CG?CH?HG?2．
∴BD=DE + BE = 8．…………………………………………………………………………（1分） 综上所述，BD的长为2或8．
24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上． （1）求a的值及点B的坐标；
（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． 【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．
（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣， ∴抛物线为y=﹣x2， ∴x=﹣4时，y=﹣8， ∴点B坐标（﹣4，﹣8）， ∴a=﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．
（2）设直线AB为y=kx+b，则有，解得，
∴直线AB为y=x﹣4，
∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12）， 过点A垂直AB的直线为y=﹣x，与y轴交于点P′（0，0），
∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．
（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．
∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形， ∵AB=AA′=
=6
，
∴AE=A′E=6，
∴点A′坐标为（8，﹣8），
∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，
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2020上海中考数学压轴题专项训练
