4-8 一个半径为r＝1m，转速为1500r/min的飞轮，受到制动，均匀减速，经时间t＝50s后静止，求：（1）飞轮的角加速度和飞轮的角速度随时间的关系；（2）飞轮到静止这段时间内转过的转数；（3）t＝25s时飞轮边缘上一点的线速率和加速度的大小。
解 （1）由于均匀减速，所以角加速度不变为
??由角速度和角加速度的关系得
0?1500r??0.5r/s2
60s?50s??25r/sd????dt
0t得 ??25?0.5t(r/s) （2） ??d?d?d??d? ??dtdtd?d??0?解得 ??625r 所以转数为625
（3）由于??25?0.5t(r/s)
?d???025r/s?d?
所以t=25s时 ??12.5r/s?25?(rad/s) 所以线速率为 v??r?25?(m/s) 角加速度大小不变
4-9 某电机的转速随时间的关系为ω＝ω0（1－e
-t/τ
），式中，ω0＝s，τ＝，求：（1）
t＝时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动6s后转过的圈数。 解 （1）t=60s代入得
??9(1?e?3)(rad/s)?8.6rad/s
（2）由??d?得 dt??4.5e
（3）由?d????dt
00?t2?6??36?18e?3 n?[?/2?]?[5.87]?5
4-10 一个圆盘绕穿过质心的轴转动，其角坐标随时间的关系为θ（t）＝γt+βt，其初始转速为零，求其转速随时间变化的规律。
解 由??3
d? 得 dt????3?t2
由于初始时刻转速为零，γ=0
??3?t2
4-11 求半径为R，高为h，质量为m的圆柱体绕其对称轴转动时的转动惯量。 解 建立柱坐标，取圆柱体上的一个体元，其对转轴的转动惯量为
dJ??2积分求得
mmdV??2?d?d?dz 22?Rh?RhJ?2?hmR31?d?d?dz?mR2 2?0??00?Rh24-12一个半径为R，密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为R/2的圆孔，圆孔与盘边缘相切。求该圆盘对通过圆盘中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。
解：把圆孔补上，取圆盘上一面元dS，到转轴的距离为r，则其转动惯量为
dJ?r2?dS?r2?rdrd?
积分得绕轴转动惯量为
J1??R0?2?0?r3drd????R4
12圆孔部分的绕轴转动惯量可由平行轴定理得
1R4R2R23??R4 J2???()???()()?222232总的转动惯量为
13??R4 J?J1?J2?324-13电风扇在开启电源后，经过t1时间达到额定转速ω，当关闭电源后，经过t2时间后停止转动，已知风扇转子的转动惯量为J，并假定摩擦力矩和电动机的电磁力矩均为常量，求电动机的电磁力矩。 解：由转动定理得
Me?Mf?J??J?Mf?J??J?t1
0?? t2解得，电磁力矩为
Me?J(??t1?t2)
4-14质量为mA的物体A静止在光滑水平面上，它和一质量不计的绳子相连接，此绳跨过一半径为R，质量为m的圆柱形滑轮C，并系在另一个质量为mB的物体上，B竖直悬挂，圆柱形滑轮可绕其几何中心转动。当滑轮转动时，它与绳子间没有相对滑动，且滑轮和轴承间的摩擦了可忽略，求（1）这两个物体的加速度为多少水平和竖直两段绳子的张力各为多少（2）物体B从静止下落距离为y时，其速率为多少 解：设水平方向物体受到的拉力大小为FA,竖直方向 物体受到的拉力为FB。 两个物体的加速度大小相等
对物体A受力分析，在水平方向由牛顿第二定律得
FA?mAa
对物体B受力分析，由牛顿第二定律得
mBg?FB?mBa
对圆柱滑轮，其绕轴转动惯量为
1J?mR2
2有转动定律得
FBR?FAR?J?
由于绳子和滑轮没有相对滑到，所以有
a?R?
联立以上各式求得两物体的线加速度
a?mBg1mA?mB?m2
水平绳子的张力
FA?mAmBg1mA?mB?m2
竖直绳子的张力
1(mA?m)mBg2 FB?1mA?mB?m2由于物体B静止下落，所以其下落距离和速率的关系为
v?2ay?2mBgy1mA?mB?m2 4-15 一半径为R，质量为m的均质圆盘，一角速度ω绕其中心轴转动，现将其放在水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ求（1）圆盘所受到的摩擦力矩。（2）经过多少时间后，圆盘才能停止转动
解：（1）在圆盘上取一面元dS，距中心轴距离为r，其受到的摩擦力大小为
df??mgdS ?R2圆盘绕其中心轴转动，所以此体元做半径为r的圆周运动，由于摩擦力的方向与运动方向相反，摩擦力的力臂长为r，所以此体元受到的摩擦力矩为
dM?rdf
所以圆盘受到的摩擦力矩为
M???r?SR2?mm2gdS?r?grdrd??mg?R ?0?R2?0?R23（2）停止转动时，圆盘的角速度为零，由于力矩不变，所以角加速度恒定，有
0????t???其中圆盘绕中心轴的转动惯量为
Mt J1J?mR2
2求得时间t为
t?3?R 4g?4-16 一质量为m长为L的均质细棒，绕其一端在水平地面上转动，初始时刻的角速度
为ω，棒与地面的摩擦因数为μ。求（1）细棒所受到的摩擦力矩。（2）细棒停止转动时，转过的角度。
解：（1）取细棒上一线元dx,设其距转轴距离为x，细棒受到的摩擦力大小为
df??mgdx L细棒绕其一端转动，则此线元绕其一定做半径为x圆周运动，摩擦力的方向与运动方向相反，线元受到的摩擦力矩为
dM?xdf
所以细棒的摩擦力矩大小为
M??x?0Lm1gdx?mg?L L22??12得 （2）由于角加速度恒定，由2????2?2其中细棒绕其一端的转动惯量
M????2 J1J?mL2
3转过的角度为
?2L??
3g?4-17 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数c为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J。求（1）经过多长时间后其转动角速度减少为初始角速度的一半（2）在此时间内共转过多少转 解：（1）由转动定律M?J?得
?c??J??J积分得
d? dt?d?c?dt??0J??0? t???0e转速为初始角速度一半时
c?tJ
t?Jln2 c
第四章课后习题答案
