导数单调性、极值和最值
1．已知x0是函数f?x??ex?lnx的极值点，若a??0,x0?， b??x0,???，则 A. f??a??0， f??b??0 B. f??a??0， f??b??0 C. f??a??0， f??b??0 D. f??a??0， f??b??0 【答案】D
111【解析】因为f??x??ex?(x?0)，令f??x??ex?=0，即ex= ，在平面直角坐标系xxx1画出y?ex,y?的图象，如图： x
根据图象可知， x??0,x0?,f??x?0,x??x0,???,f??x?0，所以 f??a??0， f??b??0，故选D.
rrr131r2rr2．已知a?2b?0，且关于x的函数f?x??x?ax?a?bx在R上有极值，则a与
32rb的夹角范围为（ ）
???A. ?0,? B.
?6?????,?? C. ?6?????,?? D. ?3???2?? ?,?33??【答案】C
131v2vvvvv2【解析】Qf?x??x?ax?a?bx在R有极值， ?f'?x??x?ax?a?b?0有不等32v1v2vvv2vvv式的根， ???0，即a?4a?b?0,?a?4abcos??0， Qa?2b?0,?cos??， 2vv???Q0????,?????，即向量a,b夹角范围是?,??，故选C. 3?3??【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，
vvvvvv属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a?b?abcos?，二是a?b?x1x2?y1y2，vva·bvv主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos??vv （此时a·b往往用坐标形式求a·bvvva?bvvvvv解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是v；（3）a,b向量垂直则a?b?0;(4)求向量bvvvvma?nb 的模（平方后需求a?b）.
3．在?ABC中，
f?x??a,b,c分别为?A,?B,?C所对的边，若函数
??13?x?bx2?a2?c2?acx?1有极值点，则sin?2B??的最小值是（ ）
3?3???A. 0 B. ?33 C. D. -1 22【答案】D
1【解析】f?x??x3?bx2??a2?c2?ac?x?1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac）， 31又∵函数f?x??x3?bx2??a2?c2?ac?x?1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两3个不同的根，∴△=（2b）2-4（a2+c2-ac）＞0，即ac＞a2+c2-b2，即ac＞2accosB； 即cosB＜1????5??，故∠B的范围是（，π），所以2B? ??,?，当233?33?2B??3???3?11?? 时sin?2B??的最小值是-1 ，即B?3?26?故选D
?1?14．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx， f???，则f(x)( )
?e?eA. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D
xf??x??f?x?x2f?x?'lnxlnx)?，所以(，所以f(x)xxx【解析】因为xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以＝?111111111xln2x＋cx.因为f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋2eeee2222e1＝ (lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，2也无极小值，故选D.
点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如
f??x??f?x?构造g?x??g?x??f?x?xf?x?ex， f??x??f?x?构造g?x??exf?x?， xf??x??f?x?构造， xf??x??f?x?构造g?x??xf?x?等 5．设a?R，若函数y?ex?ax,x?R有大于零的极值点，则（ ）
11A. a?? B. a?? C. a??1 D. a??1
ee【答案】D
【解析】f??x??ex?a（x>0）,显然当a?0时， f??x??0，f(x)在R上单调递增，无极值点，不符。所以a?0， f??x??0的根x?ln??a?>0，所以?a?1,即a??1。函数f(x)在?0,ln??a??上单调递减，在?ln??a?,???上单调递增，有极小值，所以a??1，选D. 【点睛】
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：导数单调性、极值和最值(基础)
