灰色GM(1,1)模型灰参数求解方法改进 1 引言
在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境、地学等领域中，有时要对其产生的某种现象做一定的变化趋势预测，这种现象往往受各种因素影响而产生，而这些影响因素难以量化，信息不充分，不易用明确的、白化的数学模型来表达。为此，邓聚龙[1, 2]教授于20世纪七八十年代提出了灰色系统理论，该理论是一种研究某些即含有已知信息又含有未知和未确知信息的系统理论和方法。灰预测模型是该理论的重要内容之一，它是利用系统部分已知信息，建立起反映系统发展规律的微分数学模型，并通过建立的灰色模型来预测系统的发展。
灰预测模型(GM(1，1))主要适用于等时距的离散数据的灰色建模。而在实际工作中所得的原始数据往往是非等时据的，对于非等时距数据，传统方法是利用各种插值方法将非等时距序列插值为等时距序列，然后再建模[3-5]；也有从灰色模型建模原理出发，对非等时距序列背景值进行重构，以提高预测精度[6, 7]；考虑灰参数的时变特性，也有基于GM(1,1)模型提出了时变参数的预测模型，即将灰参数假定为时间的多项式，利用最小二乘法求出时变参数和预测模型[8, 9]。这些方法存在着精度不高，求解方法复杂等不足，应用范围受到一定限制。本文从等时距灰色GM(1,1)模型的原理出发，推导出不等时距GM(1,1)白化模式的响应式，将白化响应式与一次累加生成序列拟合，并借助MATLAB中“非线性最小二乘法”相关函数，直接求解灰参数，方法简单，预测精度高。
其中：?tk=k-(k-1)=const=1 (k=1,2, n)
X(0)(tk)={X(0)(t1),X(0)(t2),…X(0)(tn)} （2）
其中：?tk=tk-(tk-1)≠const=1 (k=1,2 ,n )根据文献[6, 12]可将以上等时距和非等时距序列的一次累加生成算式看作原数据序列关于时间间隔的加权累加，对于等时距序列，其权值为常数1：
X(1)(k)=X(0)(1)?1+X(0)(2)?1+ +X(0)(n)?1 k
=∑X(0)(i) （3）
i=1
对于非等时距序列，其权值为?tk： X(1)(tk)=X(0)(t1)??t1+X(0)(t2)??t2+ +X k (0)
(tk)??tk
=∑X(0)(ti)??ti （4） i=1
因此，等时距、非等时距时间序列的一次累加可写成 更一般的累加生成算式： X(tk)=∑X(0)(ti)??ti （5）
(1) i=1 k
2 灰色GM(1,1)模型的建模原理
灰色理论的主要思想是将看似离散的数据序列经
数据变换后形成有规律的生成数列，利用生成数列建立灰色方程，求解灰参数，然后计算模型的预测数据序列。累加生成是灰色建模中最常用的生成方法，原始数据序列经一次或以上累加生成之后，弱化了原始数据的随机性，使生成数列具有近似的指数规律[10, 11]。这里仅讨论已经得到广泛应用的一阶一个变量的灰色模型，即GM(1,1)模型，分别设等时距序列数据X和非等时距序列X (0)
据灰色理论，累加生成序列X(tk)呈现指数函
数变化规律，因此满足白化模式的微分方程（白化模型）： (1) dX(1)
+aX(1)=u （6） dt
其中：a为发展系数，u为灰作用量。 解微分方程得到白化模型的响应式： ?(1)(t)=(X(0)(t)-u)e-a(tk-t1)+u （7） Xk1
aa
原数据序列在累加生成时经过了加权处理，因此在一 次累减时需做相应还原，即可求得原序列的预测拟合值： (0) (k) (tk)：
X(0)(k)={X(0)(1),X(0)(2),?X(0)(n)} （1） ?(0)(t)=X(0)(t)?X11 ?
?(1)(t)-X?(1)(t)??(0)Xkk-1 (k=2,3, ,n) （8）?X(tk)=
t-tkk-1?
白化响应式（7）为一非线性指数函数表达式，含有未
知灰参数a和u。 也即满足：
(1)(1)2? (X(t)-X(t))=min （10）∑kkk=1n
?(1)(t)一次累减还原得X?(0)(t)也能与X(0)(t)则Xkkk 无限接近。将式（7）代入式（10）得 3 灰色GM(1,1)模型灰参数求解方法改进
关于灰参数a、传统方法是根据GM(1,1)u的求解， 模型的定义型（灰微分方程）[1, 2]求得： ?(X(0)(t)-u)e-a(t-t)+u-X(1)(t)?=min （11） ∑?1k
?aa?k=1? n k 1
X(0)(tk)+aZ(1)(tk)=u （9） ?Z(1)(k)=0.5?(X(1)(tk)+X(1)(tk-1) ?k其中：? (1)(0)
X(tk)=∑X(ti)? i=1?
式（9）为一线性方程，数据序列X
(0)
关于灰参数a、u的求解，就由式（9）的线性最小二
乘转变为非线性的最小二乘问题。笔者借助MATLAB软件，编写小程序，并调用其优化工具箱中“最小二乘非线性数据拟合”函数“lsqcurvefit”，通过设置最大迭代次数、终止条件等参数，求得灰参数a、u，进而代入式（7）求得累加生成序列和原始序列的预测拟 ?和值X (1) ?和X
(0)
(tk)，试验显示利用该方法预测拟合 (tk)、Z(1)(tk)为
原始序列与其他方法相比，预测精度更高。
已知数列，可采用线性最小二乘法求得a、u。式（9）
对等时距序列有非常高的预测拟合精度，一般都能满足要求，而对非等时距序列并不适合，原因是背景值 4实例分析
为了便于比较，本文采用文献[6, 14]中给出的关于钛合金疲劳强度随温度的变化数据（见表1），分别与以上两种计算方法得出的结果进行比较。
为了便于计算，将原始温度数据作如下处理： T＝50+50t，根据灰色理论关于级比的定义要求，无需对本组疲劳强度数据进行处理，计算结果更佳，变换后数据见表2。
利用变换后数据求解灰参数a＝0.048975，u＝592.485512。建立模型为： Z(1)(tk)的计算方法存在一定偏差，有些学者从建模原 理出发，采用各种方法改进背景值Z
(1)
(tk)，使得预测
精度得到一定提高，但是方法一般较为复杂。根据文献[13]采用拉格朗日中值定理对式（6）的分析与证明发现，用背景值Z（X
(1) (1)
k(t)近似代替X(1(t)ξ)
本文所建模型与文献[6][14]的相对误差对比如表3所示。 (1)
误差，即使采用各种方法改进背景值Z(tk)，也只能 用原始数据或变换后的数据所建模型的平均相对
从一定程度上降低误差，而不能消除误差。 误差、精度、后验差、小误差概率、模型等级如表4所
示。 ?(0)(t)=-aZ(1)(t)+u与既然将式（9）Xkk
由表4可以看出，本文和文献6提出的非等间距GM(1,1)模型的建模方法与文献6相比精度有明显提
X(0)(tk)拟合，采用线性最小二乘法求a、u存在误 高，模型等级均达到一级，但是，从平均相对误差、
差，而且受时间间距的限制，能否寻找其它方法直接精度和后验差3个因子进行比较，本文方法又优于文献求a、u呢？经分析发现，如果白化模型的响应式（7）6提出的方法。
?(1)(t)能无限接近原一次累加生成序列X(1)(t)，中Xkk
(tk-1) ?(1)(t)=-11537.809882e-0.048975(tk-1)+12097.809882Xk 表2 处理后钛合金疲劳强度随温度变化关系 表3 模型预测精度对比表 5结论 本文是在仔细研究GM(1,1)建模原理和传统灰参数的求解方法的基础上，提出了将白化响应式与一次累加生成序列拟合直接求解灰参数的方法。利用该方法建模，不受时间间隔的限制，对等时距和非等时距序列均适用，与其他方法相比，该方法能有效避免了因时间间隔不等、背景值构造不合理等带来的误差，拟合精度和预测精度得到普遍提高。 参考文献： [1] 邓聚龙.灰预测与灰决策[M]. 武汉:华中科技大学出版社. 2002:71-111. [2] 邓聚龙.灰理论基础[M]. 武汉:华中科技大学出版社. 2002:87-278. [3] 王寒梅, 唐益群, 严学新等.软土地区工程性地面沉降预测的非等时距GM(1,1)模型[J]. 工程地质学报, 2006.14(3):398-400. [4] 善炜, 姚天宇,钟蕾.非等时距GM理论反演预测软基路堤沉降[J]. 东北林业大学学报, 2006.34(5):104-106. [5] 王晖光,陆建.基于三弯矩样条函数插值模型的非等距时序灰色预测方法[J]. 公路交通科技, 2006(6):53-55. [6] 戴文战,李俊峰.非等间距GM(1,1)模型建模研究[J]. 系统工程理论与实践, 2005(9):89-93. [7] 周世健, 赖志坤, 藏德彦等.加权灰色预测模型及其计算实现[J]. 武汉大学学报（信息科学版）, 2002.27(5):451-455.
灰色GM(1,1)模型灰参数求解方法改进(精)
