（2）记h(x)?x?b???x?bx??b，……………8分
??x?bx??b①当a?1时，f(x)在区间?2,???上是增函数，即h(x)在区间?2,???上是增函数， ∴?b?2，b??2……………10分
②当0?a?1时，f(x)在区间?2,???上是增函数，即h(x)在区间?2,???上是减函数但h(x)在区间??b,???上是增函数，故不可能……………12分
∴f(x)在区间?2,???上是增函数时，a、b应满足的条件为a?1且b??2……14分 21．
解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为H?21628?8?，底面半径为r??4?……………2分 3333211?8?16V??r2H???????39.71……………5分
33?3?32h3V?0.02?1986（秒）
所以，沙全部漏入下部约需1986秒。……………7分
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为H?
h11024V???42?H???……………12分
38164H???2.37?2.4
27锥形沙堆的高度约为2.4cm. ……………14分22． 22．
解:（1）∵?an?为常数列，∴an?1(n?N?).
1234∴f(4)?C4?C4?C4?C4?15……………4分
（2）∵?an?为公比为2的等比数列，∴an?2n?1(n?N?).……………6分
123∴f(n)?Cn?2Cn?4Cn?n， ?2n?1Cn123∴1?2f(n)?1?2Cn?22Cn?23Cn?nnn，(1?2)?3……………8分 ?2nCn3n?1故f(n)?. ……………10分
2（3）假设存在等差数列?an?，使得f(n)?1?(n?1)2对一切n?N*都成立，设公差
n12为d，则f(n)?a1Cn?a2Cn?nn?1且f(n)?anCn?an?1Cn?k?akCn?n?1n ……………12分 ?an?1Cn?anCnk?akCn?21， ?a2Cn?a1Cn12相加得 2f(n)?2an?(a1?an?1)(Cn?Cn?k?Cn?n?1?Cn)，
∴f(n)?an?a1?an?112(Cn?Cn?2k?Cn?n?1?Cn)
?an?a1?an?1n(2?2)?1?(n?1)d??2?(n?2)d?(2n?1?1). 2n?1∴f(n)?1?(d?2)??2?(n?2)d?2?(n?1)2n恒成立，
即(d?2)?(d?2)(n?2)2n?1?0 n?N?恒成立，∴d?2.……………15分 故?an?能为等差数列，使得f(n)?1?(n?1)2n对一切n?N?都成立，它的通项公式为an?2n?1....................... 16分
（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 23．
（理）（1）(x?1)?y?4 ?(x?1)?4,y?4
2222??1?x?3,?2?y?2 ? 界域为{(x,y)||x|?3,|y|?2}……………4分
（2）设P(x,y)，则x2?y2?|x?1|?3 ……………6分
?4x?4?1?x?1化简，得：y?? ……………8分
16?8x1?x?2?2??1?x?2,?22?y?22
? 界域为{(x,y)||x|?2,|y|?22} ……………10分
（3）由已知得：(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?a……………12分
x2?2x?1?y2?x2?2x?1?y2?(x2?y2?1)2?4x2?a
222222 ?(x?y?1)?4x?a ?y?
4x2?a2?(x2?1)
y2?0,?4x2?a2?x2?1 ?(x2?1)2?4x2?a2
222 ?(x?1)?a ?1?a?x2?a?1 ?|x|?a?1 y2?4x2?a2?(x2?1)， ……………14分 t2?a2令t?4x?a,x?
4222t2?a21a2a22y?t?(?1)??(t?2)??
44442a2当t?2，即x?1?时，等号成立．
42a2a2a222若0?a?2，1??[1?a,1?a]，x?1?时，ymax?
444a?|y|? ……16分
2a2a22?0，x?1?，?x?0时，y2max?a?1 若a?2，1?44?|y|?a?1
? 曲线C界域为：
①0?a?2时，{(x,y)||x|?a?1,|y|?}
②a?2时，{(x,y)||x|?a?1,|y|?a?1}……………18分 23．（文）
（1）曲线x?y?1(0?x?4)的外确界M0?5与内确界m0?（2）对于曲线y?4x，设P(x,y)为曲线上任意一点 |OP|?2a22．………4分 2x2?y2?22x2?4x?(x?2)2?4(x?0) ?|OP|?[0,??)
2 ?曲线y?4x不是有界曲线． ……………7分 对于曲线(x?1)?y?4 |OP|?x2?y2?22x2?4?(x?1)2?2x?3(?1?x?3) ?|OP|?[1,3]
?曲线(x?1)?y?4是有界曲线．外确界M0?3与内确界m0?1…………10分 （3）由已知得：(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?a ……………12分
x2?2x?1?y2?x2?2x?1?y2?(x2?y2?1)2?4x2?a
222222 ?(x?y?1)?4x?a ?y?
4x2?a2?(x2?1)
y2?0,?4x2?a2?x2?1 ?(x2?1)2?4x2?a2
222 ?(x?1)?a ?1?a?x2?a?1
|OP|?x2?y2?4x2?a2?1 ……………14分
若0?a?1，则1?a?4x2?a2?1?a?1，外确界M0?a?1，内确界
m0?1?a ……………16分
若a?1，则a?1?0?x2?a?1，内确界m0?4x2?a2?1?a?1，外确界M0?a?1，
a?1
a?1，内确界m0?|a?1|．……………18分
综合得：外确界M0?
上海市松江区2015届高三上学期期末质量监控（一模）数学试题（文理）
