超级狩猎者
系数法,有结论如下：
?x*k?x如果f(x)?Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e
的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的特解可设为
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x],
(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按??i?(或??i?)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 4. 一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为
?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. y?e?Q(x)e?????x2y2(6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为2?2?1.
ab方法一：以垂直于y轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形, 其中一条直角边长为x?另一条直角边长为故截面面积为
a2b?y2, ba2b?y2?tan?, b1a22S(y)?(b?y2)?tan?. 22b楔形体的体积为
ba22V?2?S(y)dy?2tan??(b2?y2)dy?a2btan?.
00b3b方法二：以垂直于x轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形, 其中一条边长为2y?2ba2?x2, a另一条边长为x?tan?, 故截面面积为
bS(x)?2xa2?x2?tan?,
a楔形体的体积为
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V?2?S(x)dx?0aa2b2tan??xa2?x2dx?a2btan?.
0a3
四、(本题满分8分)
【解析】方法一：分部积分法.
arctanxarctanxarctanxdx?dx??x2(1?x2)?x2?1?x2dx
?arctanxd(?)?arctanxd(arctanx) 分部??1x?1dx12arctanx???arctanx 2xx(1?x)211x1arctanx??(?)dx?arctan2x 2xx1?x211122 ??arctanx?lnx?ln(1?x)?arctanx?C.
x22 ??方法二：换元法与分部积分法结合.
令arctanx?t,则x?tant,dx?sec2tdt,
arctanxtsec2tt2dx?dt?dt?tcottdt ?x2(1?x2)?tan2t(1?tan2t)?tan2t?2 ?t(csct?1)dt?td(?cott)?tdt
???12t ?2cosx1dt?t2 ??tcott??sinx211??tcott??dsint?t2
sint212 ??tcott?lnsint?t?C.
2 分部?tcott?cotdt?
五、(本题满分8分)
【分析】为了正确写出函数f(x)的反函数g(x),并快捷地判断出函数g(x)的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.
【相关知识点】反函数的性质：① 若函数f(x)是单调且连续的,则反函数g(x)有相同的单调性且也是连续的；② 函数f(x)的值域即为反函数g(x)的定义域；③ g?(x)?1,f?(x)故函数f(x)的不可导点和使f?(x)?0的点x对应的值f(x)均为g(x)的不可导点.
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【解析】(1) 由题设,函数f(x)的反函数为
?1?x,x??1,??2??g(x)??3x,?1?x?8,
?x?16?,x?8.12??(2) 方法一：考察f(x)的连续性与导函数.注意
?1?2x2,x??1,?f(x)??x3,?1?x?2,
?12x?16,x?2?在(??,?1),(?1,2),(2,??)区间上f(x)分别与初等函数相同,故连续.在x??1,x?2处分别左、右连续,故连续.易求得
x??1,??4x,?f?(x)??3x2,?1?x?2,f??(?1)?4,f??(?1)?3, ?12,x?2?f??(2)?12,f??(2)?12?f?(2)?12.由于函数f(x)在(??,??)内单调上升且连续,故函数g(x)在(??,??)上单调且连续,没有间断点.
由于仅有x?0时f?(x)?0且f(0)?0,故x?0是g(x)的不可导点；仅有x??1是
f(x)的不可导点(左、右导数?,但不相等),因此g(x)在f(?1)??1处不可导.
方法二：直接考察g(x)的连续性与可导性.注意
?1?x,x??1,??2??g(x)??3x,?1?x?8,
?x?16?,x?8,12??在(??,?1),(?1,8),(8,??)区间上g(x)分别与初等函数相同,故连续.在x??1,x?8处分别左、右连续,故连续,即g(x)在(??,??)连续,没有间断点.
g(x)在(??,?1),(?1,8),(8,??)内分别与初等函数相同,这些初等函数只有3x在
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x?0不可导,其余均可导.在x??1处,
?1?x???(?1)???g????2????g?(?1)不?.在x?8处,
1?(?1)??,g?4x??1?x??3?1?, 3x??1?(8)?g??x?3??x?81x?16????(8)???,g??12?12???x?81, 12?g?(8)?.
因此,g(x)在(??,??)内仅有x?0与x??1两个不可导点.
六、(本题满分8分)
【解析】方程两边对x求导,得
3y2y??2yy??xy??y?x?0,(3y2?2y?x)y??y?x?0. ①
32令y??0,得y?x,代入原方程得2x?x?1?0,解之得唯一驻点x?1；对①两边再求导
又得
??(3y2?2y?x)y???(3y2?2y?x)?xy?y?1?0. ②
以x?y?1,y??0代入②得
2y???1?0,y??x?1?x?1是极小点.
1?0, 2【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点). 2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.
当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值.
定理：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f?(x0)?0,f??(x0)?0,那么 (1) 当f??(x0)?0时,函数f(x)在x0处取得极大值； (2) 当f??(x0)?0时,函数f(x)在x0处取得极小值.
七、(本题满分8分)
【解析】首先证明???(a,b),使f(?)?0：
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方法一：用零点定理.主要是要证明f(x)在(a,b)有正值点与负值点.不妨设f?(a)?0,
f?(b)?0.
f(x)?f(a)?f??(a)?f?(a)?0与极限局部保号性,知在x?a的某右邻域,
x?ax?af(x)?f(a)?0,从而f(x)?0,因而?x1,b?x1?a,f(x1)?0；类似地,由f?(b)?0可证
x?a由lim??x2,x1?x2?b,f(x2)?0.由零点定理,???(x1,x2)?(a,b),使f(?)?0.
方法二：反证法.假设在(a,b)内f(x)?0,则由f(x)的连续性可得f(x)?0,或f(x)?0,不妨设f(x)?0.由导数定义与极限局部保号性,
f?(a)?f??(a)?lim?f(x)?f(a)f(x)?lim??0,
x?ax?ax?ax?af(x)?f(b)f(x)f?(b)?f??(b)?lim?lim?0,
x?b?x?b?x?bx?b从而f?(a)f?(b)?0,与f?(a)f?(b)?0矛盾.
其次,证明???(a,b),f??(?)?0：
由于f(a)?f(?)?f(b)?0,根据罗尔定理,
??1?(a,?),?2?(?,b),使f?(?1)?f?(?2)?0；又由罗尔定理, ???(?1,?2)?(a,b),f??(?)?0.
注：由f?(x0)?0可得：在(x0??,x0),f(x)?f(x0)；在(x0,x0??),f(x)?f(x0).注意由f?(x0)?0得不到f(x)在(x0??,x0??)单调增的结果！
【相关知识点】1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即
f(a)?f(b)?0),那么在开区间(a,b)内至少有一点?,使f(?)?0.
2．函数极限的局部保号性定理：如果limf(x)?A,且A?0(或A?0),那么存在常数??0,
x?x0使得当0?x?x0??时,有f(x)?0(或f(x)?0).
3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在x0的某去心邻域内f(x)?0(或f(x)?0),而且limf(x)?A,那么A?0(或A?0).
x?x0
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4.罗尔定理：如果函数f(x)满足
(1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等,即f(a)?f(b), 那么在(a,b)内至少有一点?(a???b),使得f?(?)?0.
八、(本题满分8分)
【解析】(1) y??ay?f(x)为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为
ax??e?ax?F(x)?C?, y(x)?e?ax?f(x)edx?C???其中F(x)是f(x)eax的任一原函数,由y(0)?0得C??F(0),故
y(x)?e?ax?F(x)?F(0)??e?0eatf(t)dt.
?axx(2) 当x?0时,y(x)?e?ax??x0ef(t)dt?eat?ax?x0eatf(t)dt
x?1x?k?ke?ax??eatdt?ke?ax??eat??(1?e?ax).
0?a0?a【相关知识点】一阶线性非齐次方程y??P(x)y?Q(x)的通解为
?P(x)dx??P(x)dxdx?C?, 其中C为任意常数. y?e???Q(x)e???
1996年考研数学二试题及答案
