..
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME≌△CMF（AAS） ∴MB=MC．
39.如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE
④?D??C ⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA 求证：△DAB≌△CBA
证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于
D，BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证： ①?ADC≌?CEB；②DE?AD?BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1） ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
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②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
F
E A
M B
C
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB，
..
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC⊥BF．
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。NA43FE1M2BC
证明： （1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90°
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即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
在△ABF和△CDE中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD
∴△ABF≡△CDE（边角边） ∴FB=CE
在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
..
在AB上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边 ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明：
∵AD是△ABC的中线 BD=CD
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∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF． 求证：AB∥CD．
D
C
F E A B
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90o 又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL） ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
AD.1324BC
∵,∠3=∠4 ∴OB=OC
..
在△AOB和△DOC中 ∠1=∠2 OB=OC
∠AOB=∠DOC △AOB≌△DOC
∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB
△ACB≌△DBC ∴AB=CD
48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
C
D
A E
B
CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE
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49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. A D
∵AB=DC,AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=又∵BE=CEB ∠DCB ，E AB=DC C ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
C F D A E B
图9
作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE
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全等三角形证明经典50题（含答案）
