20200427计数原理章检测
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）
2018=1. 计算：??2019（ ）
A. 2018 B. 2019 C. 4037 D. 1 【答案】B
2018=1
【解析】解：??2019??2019=2019． 故选：B．
直接利用组合数公式求解即可．
本题考查组合数公式以及性质的应用，是基本知识的考查．
2. 5名高中毕业生报考三所重点院校，每人限报且只报一所院校，则不同的报名方法
有（ ） A. 35种 B. 53种 C. 60种 D. 10种 【答案】A
【解析】解：根据题意，每一位高中毕业生都有3种填报方法，
3×3×3×3=35种不同的报名方法； 则5名高中毕业生共有3×
故选：A．
根据题意，由于每一位高中毕业生都有3种填报方法，由分步计数原理求得所有的填报方法．
本题考查分步计数原理的应用，注意题干本题中学生报考学校的限制为“每人限报且只报一所院校”，需要用分步计数原理分析．
3. 某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一
门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是（ ）. A. 70 B. 98 C. 108 D. 120 【答案】B
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
12
①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，有C3C7=63种选法，
3
②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，有C7=35种选法； 故不同的选法有63+35=98种； 故选：B．
根据题意，由于A，B，C三门中至多选一门，则分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，分别求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意“A，B，C三门中至多选一门”这一条件，据此进行分类讨论．
4. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每
个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A. 8种 B. 9种 C. 10种 D. 12种 【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查排列和组合的应用，熟悉组合公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于基础题.
第1页，共7页
【解答】
1=2解：第一步，为甲地选一名老师，有??2种选法； 2=6第二步，为甲地选两个学生，有??4种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，
6×1=12种， 故不同的安排方案共有2×
故选D.
5. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A. 48个 B. 52个 C. 60个 D. 120个 【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得，要求的三位数的个位数字必须是2、4或0， 则分2种情况讨论：
1、三位数的个位数字是2或4时，
个位数字有2种情况，0不能在百位，则百位有4种选法，十位数字也有4种选法，
4×2=32种情况， 则此时有4×
2、三位数的个位数字是0时，
2
在1、2、3、4、5中任取2个数，安排在百位和十位，有A5=20种情况， 则一共可以组成32+20=52个三位偶数； 故选：B．
根据题意，由偶数的性质分2种情况讨论：1、三位数的个位数字是2或4时，分别分析百位、十位的选法数目，由分步计数原理计算可得此时的三位偶数的数目，2、三位数的个位数字是0时，在1、2、3、4、5中任取2个数，安排在百位和十位，由排列数公式计算可得此时的三位偶数的数目，将2种情况下的三位偶数的数目相加即可得答案． 本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是包含数字0的排数问题，要分类来解，0在末位是偶数，并且0还不能排在首位，在分类时要做到不重不漏．
6. （1+??2）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ） A. 15 【答案】C
B. 20
C. 30
D. 35
1
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式特定项的系数，属于中档题．
6
将（1+??2）（1+x）分两部分讨论求解即可．
1
【解答】
6????
??， 解：由（1+x）的二项式展开式的通项公式可得??6
6
（1+??2）（1+x）展开式中：
-2622
若（1+??2）=（1+x）提供常数项1，则（1+x）提供含有x的项，可得展开式中x的
1
1
2
系数为??6=15；
4若（1+??2）提供x项，则（1+x）提供含有x的项，可得展开式中x的系数为??6=15；
62
（1+??2）（1+x）展开式中x的系数为：15+15=30．
1
-2642
1
第2页，共7页
故选C.
7. 已知（x2-3x+1）5=a0+a1x+a2x2+?+a10x10，则a1+a2+a3+?+a10=（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 0 【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
在所给的等式中，令x=0，可得a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+?+a10=-1，由此求得a1+a2+a3+?+a10的值． 【解答】
25210
解：由于（x-3x+1）=a0+a1x+a2x+?+a10x， 令x=0，可得a0=1，
令x=1，可得a0+a1+a2+a3+?+a10=-1， ∴a1+a2+a3+?+a10=-2， 故选：C．
8. 若(??2+??)(?????)10的展开式中??6的系数为?30，则常数??=( )
A. -4
B. -3
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题，是中档题．
1046210
根据题意求出（x-??）展开式中含x项、x项的系数，得出（x+a）（x-??）的展开式
1
11
中x的系数，列方程求出a的值． 【解答】
10
解：（x-??）展开式的通项公式为：
6
1
??x10-r(?)??=-1r??x10-2r
Tr+1=??10??（）???10?；
??
43=-120令10-2r=4，解得r=3，所以x项的系数为-??10；
62=45令10-2r=6，解得r=2，所以x项的系数为??10；
2106
所以（x+a）（x-??）的展开式中x的系数为：-120+45a=-30，
1
1
解得a=2． 故选C．
9. (x+y)(2x-y)5的展开式中的x3y3系数为（ ）
A. -80 B. -40 C. 40 【答案】C
D. 80
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
rr??5-rr55-r5-r??
xy．令5-r=2，（2x-y）的展开式的通项公式：Tr+1=??5（2x）（-y）=2（-1）??5
解得r=3；令5-r=3，解得r=2．即可得出． 【解答】
5
解：(2x-y)的展开式的通项公式：
????5-rr
Tr+1=??5(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r??5xy．
第3页，共7页
令5-r=2，解得r=3． 令5-r=3，解得r=2．
3x项：22×(-1)3??5， 2y项：23×， 1×??553323+23×2=40(-1)3??5∴(x+y)(2x-y)的展开式中的xy系数为2×． 1×??5
故选C．
二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）
2
10. A48-2A8= ______ （用数字作答）． 【答案】1568
7×6×5=1680， 【解析】解：∵A48=8×
A27=56 . 8=8×
256=1568 . ∴A48-2A8=1680-2×
故答案为：1568 .
由排列个数公式计算可得．
本题考查排列数公式，属基础题．
11. （x-2）6的展开式中x3的系数是______ ．（用数字作答） 【答案】-160
【解析】【分析】
6
根据题意，由二项式定理可得（x-2）的展开式的通项，令x的系数为3，即可得答案．
6
本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x-2）的展开式的通项． 【解答】
r6-rrrrr6-r6
解：根据题意，（x-2）的展开式的通项为Tr+1=C6x（-2）=（-1）?2?C6x， 令6-r=3可得r=3，
333333
此时T4=（-1）?2?C6x=-160x，即x的系数是-160； 故答案为-160．
12. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的
选法有______ 种（用数字作答）． 【答案】24
【解析】解：根据题意，分两步，
22
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C4C4=36，
22
②两人所选两门都相同的有为C4=6种，都不同的种数为C4=6， 故只恰好有1门相同的选法有36-6-6=24种． 故答案为：24．
根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．
13. （2x+√??）5的展开式中，x3的系数是______．（用数字填写答案） 【答案】10
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式
3
中x的系数． 【解答】
5
解：（2x+√??）的展开式中，
第4页，共7页
5;????通项公式为Tr+1=???(√??)??=2??5???5;2， 5(2??)
5-r
??
令5-2=3，解得r=4，
34=10∴x的系数2??5，
故答案为10.
??
14. 在(2??+??2)6的二项式中，常数项等于_________（结果用数值表示）.
【答案】240
【解析】【分析】
本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题． 写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求． 【解答】
6
解：由（2x+??2），得
1
1
????????:1=??6(2??)6;???(2)??=26;?????6???6;3??．
??
1
由6-3r=0，得r=2．
2
∴常数项等于24×??6=240． 故答案为：240．
15. 一个口袋里装有5个不同的红球，7个不同的黑球，若取出一个红球记2分，取出
一个黑球记1分，现从口袋中取出6个球，使总分低于8分的取法种数为______（用数字作答）． 【答案】112
【解析】【分析】
本题考查分类加法原理，是一个中档题，解题的关键是对于分类要做到不重不漏，准确的表示出结果． 根据题意，设取出x个红球，则取出6-x个黑球，若总分低于8分，可得2x+（6-x）＜8，即x＜2，分析可得总分低于8分的情况有2种：①、取出6个黑球，②、取出1个红球，5个黑球，由加法原理计算可得答案． 【解答】
解：根据题意，设取出x个红球，则取出6-x个黑球，此时总得分为2x+（6-x）， 若总分低于8分，则有2x+（6-x）＜8，即x＜2， 即x可取的情况有2种，即x=0或x=1， 即总分低于8分的情况有2种：
6
①、取出6个黑球，有C7=7种取法，
1
C75=105种取法， ②、取出1个红球，5个黑球，有C5×
故使总分低于8分的取法有7+105=112种； 故答案为112．
16. 已知(1+3??)??的展开式中含有??2的系数是54，则??=______． 【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数的知识点，属于基础题． 本题考查了推理能力与计算能力，利用通项公式即可得出． 【解答】
第5页，共7页
计数原理章检测-教师用卷
