课时跟踪检测（十五） 平面向量的实际背景及基本概念
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
解析：选C 由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为( ) A．向量AC与向量AB一定同向
B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线 C．向量AC与向量BC一定相等 D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.
4.如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
解析：选C 根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．
5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是( )
A．AO＝BO C．AO＝1
B．AO＝BO或AO＝－BO D．|AO|＝|BO|
解析：选D 由于a与b的方向不知，故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为单位向量．∴|AO|＝|BO|，故C错D对．
6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________. 解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以|BC|＝3. 答案：3
7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0. 解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1， 所以|a0|＋|b0|＝2. 答案：③
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心． (1)写出与向量AB相等的向量； (2)写出与OA的模相等的向量． 解：(1)与向量AB相等的向量是DC.
(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO. 10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB. (2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示． (2)由题意知AD＝BC. 所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二 应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．AD＝BC C．PE＝PF
B．AC＝BD D．EP＝PF
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得： A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误； B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误； C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；
D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确． 2．下列说法正确的是( ) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线 C．若a≠b，则a一定不与b共线 D．单位向量的长度为1
解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．
3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式： ①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1. 其中正确的是( ) A．①④ C．③④
B．③ D．②③
解析：选B a为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.
4.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的
高中数学三维设计必修4：(十五) 平面向量的实际背景及基本概念
