??H??BAH， ?BH?BA，
Q?ADP??BDC?45?， ??ADB?90?，
?BD?AH，
??DBA??DBC?22.5?， Q?ADB??ACB?90?， ?A，D，C，B四点共圆，
?DAC??DBC?22.5?，?DCA??ABD?22.5?， ??DAC??DCA?22.5?，
?DA?DC，设AD=a，则DC?AD?a，PD?AD?CPa2a?a22a， 2??2?2c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC，设AD=a，则CD?AD?a，PD?2 a，2
?PC?a?2a， 2 26
?AD?PCaa?2a2?2?2．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．（2019·山东初三期中）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC． （1）求证：AD＝BC； （2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求
AD的值． EF
（1）见解析；（2）见解析；（3）【答案】【解析】
AD?2. EF（1）∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB．同理GD=GC．
在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC． （2）∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC． 在△AGB和△DGC中，∴
GAGB?，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC． GDGCGAEG?，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF． GDFG27
（3）如图，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH． 由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB． ∴∠AGB=∠AHB=90°， ∴∠AGE=∴
1∠AGB=45°， 2GA?2. GE又△AGD∽△EGF， ∴
ADAG??2. EFEG
11．（2019·温江中学实验学校初三期中）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
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（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析 【答案】【解析】
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
?AC?BC??在△ACE和△BCD中??ACB??ECD?90， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
?CE?CD?∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， ∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∠CAE=∠CBD． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD， 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴
=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE．
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∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN． 考点：相似形综合题．
12．（2019·山东初三期中）（提出问题）
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． （类比探究）
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． （拓展延伸）
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析 【解析】
解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN．
AB?AC∵在△BAM和△CAN中，{?BAM??CAN?，
AM?AN 30
2020年中考数学基础题型提分讲练专题20以相似三角形为背景的证明与计算含解析
