专题20 以相似三角形为背景的证明与计算
考点分析
【例1】（2019·辽宁中考真题）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．
（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时， 求证：①∠CAD＝∠CDF， ②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由． （1）①见解析；②见解析；（2）BD＝EF，理由见解析. 【答案】【解析】
（1）证明：①∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝90°， ∵∠CDF+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H， 则四边形FECH为矩形， ∴CH＝EF，
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在△ACD和△DHF中，
???CAD??HDF??ACD??DHF?90??， ?AD?DF??ACD??DHF(AAS)
?DH?AC，
QAC?CB，
?DH?CB，
?DH?CD?CB?CD，即HG?BD，
?BD?EF；
（2）BD?EF，
理由如下：作FG?BC交BC的延长线于G， 则四边形FECG为矩形，
?CG?EF，
Q?CAD??GDF，?ACD??DGF?90?， ??ACD∽?DGF，
?DGAC?DFAD?2，即DG?2AC，GF＝2CD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴BC＝DG，GF＝CE， ∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°， ∴四边形FECG为矩形， ∴CG＝EF，
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∴BD＝EF．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握各判定定理.
【例2】 （2019·辽宁中考真题）如图，△ABC中，AB?AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且
?GEF??BAC?180?．
（1）如图1，当?B?45?时，线段AG和CF的数量关系是 ． （2）如图2，当?B?30?时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明． （3）若AB?6，DG?1，cosB?3，请直接写出CF的长． 43
【答案】（1）AG?CF；（2）AG?12CF，理由见解析；（3）2.5或5 【解析】
解：（1）相等，理由：如图1，连接AE， ∵DE垂直平分AB，
?AE?BE，
??BAE??B?45?，
?AE?BC，
QAB?AC，
?BE?EC?AE，?BAE??EAC??C?45?， Q?GEF??BAC?180?，
??AGE??AFE?360??180??180?， Q?AFE??CFE?180?， ??AGE??CFE， Q?GAE??C?45?， ?VAEG≌VCEF?AAS?，
?AG?CF；
故答案为：AG?CF； （2）AG?12CF， 理由：如图2，连接AE，
QAB?AC，
??B??C?30?， ??BAC?120?，
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∵DE垂直平分AB，
?AE?BE，
??BAE??B?30?，
??CAE?90?，?BAE??C， Q?GEF??BAC?180?， ??AGE??AFE?180?， Q?CFE??AFE?180?， ??AGE??CFE， ?VAGE∽VCFE，
?AGAECF?CE， 在RtVACE中，Q?C?30?，
?AECE?sinC?12， ?AG1CF?2， ?AG?12CF；
（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE， ∵DE垂直平分AB，
?AD?BD?3，AE?BE，
QcosB?BDBE， ?BE?BDcosB?33?4， 4?AE?BE?4， ??BAE??B，
QAB?AC，
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2020年中考数学基础题型提分讲练专题20以相似三角形为背景的证明与计算含解析
