第49讲 数学归纳法
1
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(D)
2
A．1 B．2 C．3 D．4
2．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除，第二步假设应写成(D) A．假设n＝k (k为正奇数)时命题成立，再推证n＝k＋1时命题成立 B．假设n＝2k＋1时 (k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋2时命题成立 C．假设n＝2k＋1时 (k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋3时命题成立 D．假设n＝2k－1时 (k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋1时命题成立
k为正奇数时，k＋1为正偶数，A不正确； 2k＋1为正奇数时，2k＋2为正偶数，B不正确；
2k＋1与2k＋3 (k∈N*)虽为相邻两正奇数，但1未包含其中，故C也不正确，应选D. 3．平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系为(D)
A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1 B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1 C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2 D．f(k＋1)＝f(k)＋k
当k条直线再增加一条时，这条直线与前k条直线都有交点，故当增加一条直线
时，就增加了k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k.
1111
4．设f(n)＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(D)
2nn＋1n＋2n＋3
11A. B. 2n＋12n＋21111C.＋ D.－ 2n＋12n＋22n＋12n＋2
因为f(n)为从n＋1到2n之间的连续正整数的倒数之和，
11111
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
2n2n＋12n＋2n＋2n＋3
111
故f(n＋1)－f(n)＝＋－
2n＋12n＋2n＋1
11＝－. 2n＋12n＋2
111
5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n
232－1
11
是 1＋＋<2 .
23
6．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2an(n∈N*)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an
2
＝ .
n?n＋1?
2
用不完全归纳法可得an＝. n?n＋1?
也可直接求出：
因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)， 两式相减得an＝n2an－(n－1)2an－1，
n－1
即＝(n≥2)， an－1n＋1
a2a3an2
故an＝a1···…·＝.
a1a2an－1n?n＋1?an
ax
，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. a＋x
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．
a
(1)因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝；
1＋a
aa
a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.
2＋a3＋a
a
猜想：an＝.
?n－1?＋a7．设a>0，f(x)＝
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
a
②假设n＝k时，猜想正确，即ak＝，
?k－1?＋a
a·ak
则ak＋1＝f(ak)＝
a＋ak
aa·
?k－1?＋a＝
a
a＋
?k－1?＋aa
＝ ?k－1?＋a＋1
a
＝， [?k＋1?－1]＋a这说明，n＝k＋1时猜想也正确．
a
由①②可知，对于任意n∈N*，都有an＝成立．
?n－1?＋a
8．某个命题与正整数n有关，若n＝k
时命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(C)
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立
(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当
n＝k＋1
如果n＝4时命题成立，那么由题设，可推得n＝5时命题也成立，上面的判断作
为一个命题，它的逆否命题是：如果n＝5时命题不成立，那么n＝4时命题也不成立，依据原命题等价于逆否命题，即原命题成立，则逆否命题也一定成立，应选C.
9．平面上有k个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不交于同一点，则在k个圆的基础上再增加一个圆，k＋1个圆将平面分成的区域在k个圆的基础上增加 2k 块．
当n＝k＋1时，平面上增加了第k＋1个圆，它与原来的k个圆的每一个圆都相交
于两个不同的点，共2k个交点，这2k个交点将第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧将原来的
一块区域隔成了两块区域，故区域共增加了2k块．
n
10．设数列{n}的前n项和为Sn.
2
(1)求Sn；
1
(2)问是否存在自然数n0，使得对n>n0的一切自然数n都有Sn>2－？若存在，求最小
n
的自然数n0，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
123n
(1)Sn＝＋2＋3＋…＋n，①
2222
1123n
Sn＝2＋3＋4＋…＋n，② 22222＋1
由①－②得 11111nSn＝＋2＋3＋…＋n－n 222222＋111
[1－??n]22n1n＝－n＝1－n－n.
122＋12＋11－2n＋2n
所以Sn＝2－n－n＝2－n.
22－12
1
n＋21n?n＋2?1
(2)要Sn>2－，只需n<，亦即<1. n2n2n6×?6＋2?483
①当n＝6时，＝＝<1成立．
26644k?k＋2?
②假设当n＝k(k≥6)时不等式成立，即<1.
2k则当n＝k＋1时，
?k＋1??k＋3?k?k＋2??k＋1??k＋3?
＝· kk＋1222k?k＋2??k＋1??k＋3?<<1. ?k＋2?2k
n?n＋1?1
由①②可知，当n>5时，<1，即Sn>2－. n2nn?n＋2?5×71
而当n＝5时，＝>1，从而Sn<2－. n232n
1
因此，存在最小的自然数n0＝5，对n>n0的一切自然数n都有Sn>2－成立．
n
2020届高考一轮复习理科数学(人教版)练习：第49讲 数学归纳法
