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2.3.1 双曲线的标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题． 知识点一 双曲线的定义
思考 如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点
F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线
上的点应满足怎样的几何条件？
梳理 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点的距离叫做双曲线的________；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______________(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的________． (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是________________________． 知识点二 双曲线的标准方程
思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？
思考2 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？ 梳理 (1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴 标准方程 图形 焦点坐标 x轴 2
y轴 a，b，c的关系式 2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x项的系数为正，则焦点在________上；若y项的系数为正，那么焦点在________上．
(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax＋By＝1(AB<0)．
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b＝________与椭圆中的b＝________相区别． 类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题
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例1 已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝
91660°，求△F1PF2的面积． 引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式S?PFF＝?PF1·PF2sin?F1PF2求得面积． 12(2)方法二：
利用公式S?PFF＝?F1F2?yP (yP为P点的纵坐标)求得面积．
12特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|＋|PF2|，|PF1|·|PF2|间的关系．
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x2y2
x2y2
跟踪训练1 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线2－2＝1的左，右焦点，点M为双曲线上
ab一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积． 命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程
例2 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 C．|PF1|－|PF2|＝±5
B．|PF1|－|PF2|＝±4 D．|PF1|－|PF2|＝±4
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(2)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM、BM相交于点
M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为________________．
反思与感悟 双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)．
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③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b＝
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c2－a2，进而求出相应a，b，c.
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
跟踪训练2 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|－|PF2|＝2的点P的轨迹为双曲线； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线； ③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线； ④若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离的差的绝对值等于点M(1，2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线． 类型二 待定系数法求双曲线的标准方程
?9?例3 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和?，5?，求双曲线的?4?
标准方程；
(2)求与椭圆＋＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程．
1612反思与感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax＋By＝1(AB<0)．
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y2x2
x2y2x2y2
②与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为2－＝1(－
aba－kb2＋kb2 (3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c＝6，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上； 1516 (2)经过点P(3，)，Q(－，5)； 43 (3)与椭圆＋＝1共焦点且过点(32，2)． 255类型三 双曲线定义的综合运用 x2y2 x2y2x2y2 例4 已知椭圆2＋2＝1与双曲线2－2＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α， abmn求证：tan α＝. 反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题 3word版本可编辑.欢迎下载支持. nb
2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_1双曲线的标准方程学案新人教B版选修2_1
