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初中数学奥林匹克竞赛题及问题详解

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(3)若m=3时,有

解之得

故p+q=8。

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奥数题二

一、选择题 1.数1是 ( ) A.最小整数 B.最小正数 C.最小自然数 D.最小有理数 答案:C

解析:整数无最小数,排除A;正数无最小数,排除B;有理数无最小数,排除D。1是最小自然数,正确,故选C。

2.a为有理数,则一定成立的关系式是 ( ) A.7a>a B.7+a>a C.7+a>7 D.|a|≥7 答案:B

解析:若a=0,7×0=0排除A;7+0=7排除C;|0|<7排除D,事实上因为7>0,必有7+a>0+a=a.选B。

3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( ) A.6.1632 B.6.2832 C.6.5132 D.5.3692 答案:B

解析:3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)

=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416 =6.2832,选B。

4.在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个数中,最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) A.225 B.0.15 C.0.0001 D.1 答案:B

解析:-4,-1,-2.5,-0.01与-15中最大的数是-0.01,绝对值最大的数是-15,(-0.01)×(-15)=0.15,选B。 二、填空题

1.计算:(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。

答案:(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1) =-1 。

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2.求值:(-1991)-|3-|-31||=______。

答案:(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。

3.n为正整数,1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于______。 答案:4

解析:1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字.即为0000,即1990n末位至少要4个0,所以n的最小值为4。 4.不超过(-1.7)2的最大整数是______。 答案:2

解析:(-1.7)2=2.89,不超过2.89的最大整数为2。 5.一个质数是两位数,它的个位数字与十位数字的差是7,则这个质数是______。 答案:29

解析:个位数比十位数大7的两位数有18,29,其中只有29是质数。 三、解答题

1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值。 答案:原式

=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1+3×1-2x+2000=2003。

2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?最大利润是多少元?

答案:原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利(4+x)元,但每天卖出为(100-10x)件。 如果设每天获利为y元, 则y =(4+x)(100-10x) =400+100x-40x-10x2

=-10(x2-6x+9)+90+400 =-10(x-3)2+490。

所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大为490元。 3.如图1-96所示,已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°。求证:DA⊥AB。

证明:∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴ AD∥BC。 又∵ AB⊥BC,

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∴AB⊥AD。

4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解。

答案:|x||y|-2|x|+|y|=4,即 |x|(|y|-2)+(|y|-2)=2, 所以(|x|+1)(|y|-2)=2。

因为|x|+1>0,且x,y都是整数,所以

5.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少?(一年期定期储蓄年利率为5.22%)

答案:设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则

因为 y=35000-x,

所以 x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761, 所以 1.3433x+48755-1.393x=47761, 所以 0.0497x=994,

所以 x=20000(元),y=35000-20000=15000(元)。 6. 对k,m的哪些值,方程组答案:因为 (k-1)x=m-4, ①

至少有一组解?

m为一切实数时,方程组有唯一解.当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解。 当k=1,m≠4时,①无解。

所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解。

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奥数题三

一、选择题

1.下面给出的四对单项式中,是同类项的一对是 ( ) A. x2y与-3x2z B.3.22m2n与 nm2

C.0.2a2b与0.2ab2 D.11abc与 ab 答案:B

解析:字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。 2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A.3x-3 B.x-1 C.3x-1 D.x-3 答案:C

解析:(x-1)-(1-x)+(x+1)

=x-1-1+x+x+1=3x-1,选C。 3.两个10次多项式的和是 ( ) A.20次多项式 B.10次多项式 C.100次多项式

D.不高于10次的多项式 答案:D

解析:多项式x+x与-x+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式,因此排除了A、B、C,选D。

4.若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A.a,-1,1,-a B.-a,-1,1,a C.-1,-a,a,1 D.-1,a,1,-a 答案:A

解析:由a+1<0,知a<-1,所以-a>1。于是由小到大的排列次序应是a<-1<1<-a,选A。

5.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5),则 ( ) A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a

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