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A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC
【解析】选C.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BDC,又AD?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDC.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
【解析】由定理可知,BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC,答案不唯一)
4.(2015·福州高二检测)如图所示,一山坡的坡面与水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30°的角,沿这山路行走20m后升高 m.
【解题指南】先作出山坡的坡面与水平面所成的二面角的平面角,然后标出有关
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数据计算点B到水平面的距离.
【解析】如图,作BH⊥水平面,垂足为H,过H作HC⊥坡脚线,垂足为C,连接BC,则∠BAC=30°,由BH⊥AC,HC⊥AC知,AC⊥平面BHC,从而BC⊥AC,
所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角, 所以∠BCH=30°,在Rt△ABC和Rt△BCH中, 因为AB=20m,所以BC=10m,所以BH=5m, 答案:5
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·临沂高一检测)如图所示,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG?α,∠GAE =45°,若AG与β所成角为30°,求二面角α-EF-β的大小.
【解题指南】首先在图形中作出有关的量,AG与β所成的角(过G作β的垂线段GH,连AH,∠GAH =30°),二面角α-EF-β的平面角,注意在作平面角时要试图与∠GAH建立联系,抓住GH⊥β这一特殊条件,作HB⊥EF,连接GB,利用相关关系便可解决问题.
【解析】作GH⊥β于H,作HB⊥EF于B,连接GB, 则GB⊥EF,∠GBH是二面角的平面角. 又∠GAH是AG与β所成的角, 设AG = a,则,GB=a,GH=a,
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sin∠GBH==.
所以∠GBH =45°,即二面角α-EF-β的大小为45°.
【补偿训练】已知:二面角α-AB-β等于45°,CD?α,D∈AB,∠CDB=45°.求:CD与平面β所成的角.
【解析】如图:作CO⊥β交β于点O,连接DO,则∠CDO为CD与平面β所成的角.过点O作OE⊥AB于E,连接CE,则CE⊥AB,所以∠CEO为二面角α-AB-β的平面角,即∠CEO=
45°.设CD=a,则CE=a,所以在Rt△COE中CO=OE=a,又CO⊥DO,sin∠CDO=,所以∠CDO=30°,即CD与β成30°角.
6.(2015·山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH.
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证平面BCD⊥平面EGH.
【解析】(1)因为DEF-ABC是三棱台,且AB=2DE,所以BC=2EF,AC=2DF. 因为点G,H分别是AC,BC的中点,所以GH∥AB.
因为AB?平面FGH,GH?平面FGH,所以AB∥平面FGH.因为EF∥BH且EF=BH,所以四边形BHFE是平行四边形,所以BE∥HF.
因为BE?平面FGH,HF?平面FGH,所以BE∥平面FGH;又因为AB∩BE=B,所以平面ABE∥平面FGH,因为BD?平面ABE,所以BD∥平面FGH.
(2)因为AB=2DE,所以BC=2EF,因为H是BC的中点,所以HC=BC=EF,又HC∥
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EF,所以四边形HCFE是平行四边形,所以HE∥CF. 因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.
因为GH∥AB,AB⊥BC,所以GH⊥BC. 因为GH∩HE=H,所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.
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[人教A版]高中数学必修二：课时提升作业（十四） 2.3.2
