2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
7、180 8、? 9、43 10、113 11、 参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、A 2、D 3、C 4、C 5、A
6、B
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
24212、2015
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2n?r（r为常数），
记bn?2(1?log2an) (n?N*)．
（1）求数列{anbn}的前n项和Tn；
（2）若对于任意的正整数n，都有1?b11?b2b???1?bn1bb?kn?12n成立，
求实数k的最大值． 解：（1）由条件易知a1?2?r,a2?S2?S1?2,a3?S3?S2?4,
又
由
a22?a1a3得
r??1． ……5分
则
f(n?1)n?11?2(n?1)4n2?12n?9????1， ……15分 2f(n)4n?12n?8n?22(n?1)于是Sn?2n?1．故an?2n?1，bn?2(1?log2an)?2n，anbn?n?2n．
因此 Tn?1?21?2?22??(n?1)?2n?1?n?2n ①
2Tn?1n?1?22?2?23??(n?1)?2n?n?2 ②
由①-②得：?T1n?2?22??2n?1?2n?n?2n?1，Tn?(n?1)?2n?1?2．
所
以
，
数
列
{anbn}的前n项和Tn?(n?1)?2n?1?2(n?N*)． ……10分
(2) 因为
k?11?b1n?1?b?1?b2?1?bn11?21?41?2n1b?2b?nn?1?2?4??2n，构造f(n)?1?1?21?41?2nn?12?4??2n， 于是{f(n)}严格单增，则f(n)的最小值为f(1)?342， 即
实数k的最大值是
故
342． ……20分 14、已知a、b、c为正实数，
为
求证：abc?a?b?c111?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)．
a2?b2?c2证明：（1）先证：abc?a?b?c11，等价于证明：
a2?b2?1c2(ab)2?(bc)2?(ca)2?abc(a?b?c)，
令x?ab,y?bc,z?ca，由不等式x2?y2?z2?xy?yz?zx知结论
成立． ……5分
（2）再证：a?b?c?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)??1?a2?11?b2?c2?? （*）由于不等式是轮换对称的，不妨设a?max{a,b,c}，则
a?b?c?0,c?a?b?0
①当b?c?a?0时，结论显然成立；
②当b?c?a?0时，令a?y?z,b?z?x,c?x?y，
则x?1(b?c?a)，y?1122(c?a?b)，z?2(a?b?c)， ……10
分
故x,y,z均大于0.
不
等
式
（
*
）
变
为
：
2(x?y?z)?8xyz[111(y?z)2?(z?x)2?(x?y)2]
只需证：
1yz?1zx?1xy?4(y?z)2?4(z?x)2?4(x?y)2， ……15分 注意到：(y?z)2?4yz，则
4(y?z)2?1yz,
同理：
4(z?x)2?1zx，4(x?y)2?1xy．所以，原不等式成
立． ……20分
15、已知抛物线y22px过定点C(1,2)，在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线yx3交于点P，过点P作x轴的
平行线交抛物线于点B．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）求△ABC面积的最小值．
yACQ解：（1）由抛物线y2
2px过定点C(1,2)，
OxPB可得抛物线方程为y24x．
全国高中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分标准
