3.1导数的应用(一)
典例精析
题型一 求函数f(x)的单调区间
【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R),求函数f(x)的单调区间. 【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1,+∞).
[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]a+22x(x-)
2a
f′(x)=2x-a-=,
x-1x-1
a+2
2x(x-)
2a+2
①若a≤0,则≤1,f′(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤0时,f(x)的增区
2x-1间为(1,+∞).
a+2
②若a>0,则>1,
2
a+22x(x-)
2a+2
故当x∈(1,]时,f′(x)=≤0;
2x-1a+2
2x(x-)
2a+2
当x∈[,+∞)时,f′(x)=≥0,
2x-1
a+2a+2
所以a>0时,f(x)的减区间为(1,],f(x)的增区间为[,+∞).
22
a+2
【点拨】在定义域x>1下,为了判定f′(x)符号,必须讨论实数与0及1的大小,分类
2讨论是解本题的关键.
【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.1
【解析】因为f′(x)=2x+-a,f(x)在(0,1)上是增函数,
x1
所以2x+-a≥0在(0,1)上恒成立,
x1
即a≤2x+恒成立.
x
12
又2x+≥22(当且仅当x=时,取等号).
x2
所以a≤22,
故a的取值范围为(-∞,22].
【点拨】当f(x)在区间(a,b)上是增函数时?f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;同样,当函数f(x)在区间(a,b)上为减函数时?f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 题型二 求函数的极值
【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1. (1)试求常数a,b,c的值; (2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.
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【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c. 因为x=±1是函数f(x)的极值点, 所以x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.
?2b??0, ①??3a??c??1, ②?由根与系数的关系,得?3a
又f(1)=-1,所以a+b+c=-1. ③ 13由①②③解得a=,b=0,c=-.
2213
(2)由(1)得f(x)=x3-x,
22
33
所以当f′(x)=x2->0时,有x<-1或x>1;
2233
当f′(x)=x2-<0时,有-1<x<1.
22
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13
所以函数f(x)=x3-x在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.
22所以当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.
【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲, f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f′(x)=0.但是, 当x0满足f′(x0)=0时, f(x)在点x=x0处却未必取得极值,只有在x0的两侧f(x)的导数异号时,x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.
[来源:www.shulihua.net]3
【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x),满足f(3-x)=f(x),(x-)f′(x)<0,若x1<x2,
2且x1+x2>3,则有( ) A. f(x1)<f(x2) C. f(x1)=f(x2)
B. f(x1)>f(x2) D.不确定
3333
【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+)]=f(x+),即f(-x)=f(x+),所以函数f(x)的
22223333
图象关于x=对称.又因为(x-)f′(x)<0,所以当x>时,函数f(x)单调递减,当x<时,
2222x1+x23x1+x23
函数f(x)单调递增.当=时,f(x1)=f(x2),因为x1+x2>3,所以>,相当于
2222x1,x2的中点向右偏离对称轴,所以f(x1)>f(x2).故选B.
题型三 求函数的最值
1
【例3】 求函数f(x)=ln(1+x)-x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.
4
1111
【解析】f′(x)=-x,令-x=0,化简为x2+x-2=0,解得x1=-2或x2=1,
1+x21+x2其中x1=-2舍去.
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又由f′(x)=
11
-x>0,且x∈[0,2],得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1),同理, 得知1+x2
1
函数f(x)的单调递减区间是(1,2),所以f(1)=ln 2-为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0,f(2)
41
=ln 3-1>0,f(1)>f(2),所以,f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2-为函
4数f(x)在[0,2]上的最大值.
【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a,b]上的最值,首先需求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后,将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较,才能得出函数f(x)在[a,b]上的最值.
【变式训练3】(2008江苏)f(x)=ax3-3x+1对x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a= . 【解析】若x=0,则无论a为何值,f(x)≥0恒成立. 当x∈(0,1]时,f(x)≥0可以化为a≥
31-, x2x3
3(1-2x)31
设g(x)=-,则g′(x)=,
x2x3x411
x∈(0,)时,g′(x)>0,x∈(,1]时,g′(x)<0.
221
因此g(x)max=g()=4,所以a≥4.
2当x∈[-1,0)时,f(x)≥0可以化为 3(1-2x)31
a≤-,此时g′(x)=>0, x2x3x4
g(x)min=g(-1)=4,所以a≤4. 综上可知,a=4. 总结提高
1.求函数单调区间的步骤是: (1)确定函数f(x)的定义域D; (2)求导数f′(x);
(3)根据f′(x)>0,且x∈D,求得函数f(x)的单调递增区间;根据f′(x)<0,且x∈D,求得函数f(x)的单调递减区间. 2.求函数极值的步骤是: (1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号,确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是:
先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
高考数学一轮复习总教案:3.1 导数的应用(一)
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