2024-2024年高考数学二轮复习疯狂专练20数学文化题集理
一、选择题（5分/题）
1．[2017·安徽联考]我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前一日的一半．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（ ）
1A．an?n
2
【答案】C
B．an?n
nD．an?2
12C．
?1?an????2?n【解析】由“一尺长的木棒，每日取其一半．”可知每天剩下的木棒构成一个首项为
1，21?1?公比为的等比数列．所以该数列的通项公式为an???．故选C．
2?2?2．[2017·江淮十校]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=
n12
（弦?矢+矢）．弧田（如图），由圆弧和其所22?，半径等3对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为于4米的弧田．按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）
A．6平方米 方米 【答案】B
【解析】因为圆心角为B．9平方米
C．12平方米
D．15平
2?，半径等于4米，所以圆心到弦的距离为OB?2，所以矢等于3?4?2?2米，弦长为2AB?2?4?sin?43，所以弧田的面积约为
3143?2?22?43?2?9，故选B． 2??3．[2017·奎屯一中]齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A．
1 3B．
1 4C．
1 5D．
1 6【答案】A
【解析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为b，c，d，记齐王的上等马、中等马、下等马分别为1，2，3．比赛的情况用符号表示有：b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，共有9种．田忌的马获胜的情形有b2，b3，c3，共有3种，所以概率为P?d3，选A．
4．[2017·崇义中学]《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14?a15?a16?a17的值为（ ） A．55 【答案】B
【解析】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列?an?，其中a1?5，S30?390，?30?5?所以a14?a15?a16?a17?4a1?58d?4?5?58?B．52
C．39
D．26
31故?．
9330?2916． d?390，?d?22916?52．故选B． 295．[2017·资阳一诊]公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（ ）（参考数据：3?1.732，sin15??0.2588，
sin7.5??0.1305）
A．12 【答案】B
【解析】当n?6时，S?当n?12时，S?B．24
C．48
D．96
1360?33?6?sin??2.6?3.10,n?2?6?12， 2621360??12?sin?3?3.10,?n?2?12?24， 2121360?当n?24时，S??24?sin?12?sin15??12?0.2588≥3.10，输出n，n=24．故
224选B．
6．[2017·北京大兴]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左一次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．336 【答案】B
【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为
B．510
C．1326
D．3603
1?73?3?72?2?7?6?510，故选B．
7．[2015·全国卷Ⅰ]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，
问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛 【答案】B
【解析】设米堆的底面半径为r尺，则
2B．22斛 C．36斛 D．66斛
?16r?8，所以r?，所以米堆的体积为2?11??16?320（立方尺）．故堆放的米约有V????r2?5?????5?4312???9320?1.62?22(斛）．故选B． 98．[2017·滁州中学]《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱 EF＝2丈，EF∥平面ABCD．EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（ ）
A．4立方丈 方丈 【答案】B
【解析】延长EF、FE分别到H、G，且FH?EG?1，则该几何体为直三棱柱，三棱锥F?BCH的体积为V?B．5立方丈
C．6立方丈
D．8立
1111?S△BCH?FH???3?1?1?，三棱柱的体积为33221V??S△BCH?AB??3?1?4?6，所以所求体积为V??2V?6?1?5．故选B．
2
9．[2017·皖南八校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：A．
【答案】A
【解析】由定义知：千位9为横式
；百位1为纵式
；十位1为横式
；个位7为
B．D．
，则9117用算筹可表示为（ ）
C
．
纵式，选A．
10．[2017·韶关期末]“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角??飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
?，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，6
A．1?3 2B．3 2C．4?3 4D．3 4【答案】A
【解析】小正方形的边长为2cos?? ?2sin?3?1，所以飞镖落在小正方形内的概率是：
66?P?3?122?2?2?33?1?，故选A． 2211．[2017·衡水中学]中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（ ） A．14 【答案】C
【解析】设上底面的长为x，则宽为3?x，因为相似比为为
B．56
C．
1，高为3，263 4D．63
1，所以下地面的长为2x，宽2台
的
体
积
为
6?2x．由题意得棱
V?12132??，所以当2x?2x3?x?4x?x6?2x?3??7x?21xx???时，?????????6??142Vmax363?3?．故选C． ??7????21??224??212．[2017·信阳联考]中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；
②函数f?x??lnx2?x2?1可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数y?sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y?f?x?是“优美函数”的充要条件为函数y?f?x?的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是：（ ） A．①③ 【答案】A
【解析】对于①，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确；对于②可以做出其图象：
B．①③④
C．②③
D．①④
?? 故不能是某圆的“优美函数”；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图象的对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的“优美函数”；对于④函数是中心对称图形时，函数是“优美函数”，但是“优美函数”不一定是中心对称，如图所示：
故选A．
二、填空题（5分/题）
13．[2017·华师附中]《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的小的两份之和，问最大的一份为______． 【答案】1是较7115 3【解析】设每人所得面包数构成等差数列?an?，公差d?0．由题意得
?1a5?a1?a2?a?3?a?4??11a1?46d?0115?7，即，解得． a???1a?2d?205?5?13?d?100?1?5a??1?2?14．[2017·重庆十一中]现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为：
y2x2??1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于254_________．
【答案】80? 3【解析】椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积：
1??80?V?2?V圆柱﹣V圆锥??2???22?5???22?5??．
33??15．[2017·揭阳调研]鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成
三组，经90?榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．（容器壁的厚度忽略不计）
【答案】41?
【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设
?22?1222其半径为R，R?3???2?4?R2?41?．
?41，所以该球形容器的表面积的最小值为???4?216．[2017·吉林实验]关于圆周率?，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计?的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对?x,y?；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对?x,y?的个数m；最后再根据统计数m来估计?的值．假如统计结 果是（用分数表示） m?56，那么可以估计??__________．【答案】
78 25【解析】由题意，200个都小于1的正实数对?x,y?，满足??0?x?1，区域面积为1，两
0?y?1??0?x?1?22个数能与1构成钝角三角形三边的数对?x,y?满足x?y?1且?0?y?1，区域面积为
?x?y?1??156?178． ?，由已知??，解得??422004225
2024-2024年高考数学二轮复习疯狂专练20数学文化题集理
