章末优化总结
解决匀变速直线运动问题的常用方法
1．匀变速直线运动规律公式间的关系
2．常用解题方法 常用方法 规律特点 1v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v20＝2ax 2一般公式法 使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负 平均速度法 －xv＝，对任何性质的运动都适用； t－1v＝(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动 2－1vt＝v＝(v0＋v)，适用于匀变速直线运动 22对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解 把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动 应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解 中间时刻速度法 比例法 逆向思维法 图象法 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到3
达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端l处的
4B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
[解析] 法一：逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面 相当于向下匀加速滑下斜面
a（t＋tBC）2at2xACBC
故xBC＝，xAC＝，又xBC＝
224由以上三式解得tBC＝t. 法二：基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v20＝2axAC
2
v2B＝v0－2axAB
① ② ③ ④ ⑤
3xAB＝xAC
4
v0
由①②③式解得vB＝
2又vB＝v0－at vB＝atBC⑥
由④⑤⑥式解得tBC＝t. 法三：比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为 x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
xAC3xAC
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
44法四：中间时刻速度法
v0＋vv0－
利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，vAC＝＝，又v20＝222axAC，v2xBC＝B＝2axBC，
v0xAC
.由以上三式解得vB＝.可以看成vB正好等于AC段的平均速度，42
因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.
法五：图象法
根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似S△AOCCO2S△AOC
三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得＝2，且＝
S△BDCCDS△BDC4
，OD＝t，OC＝t＋tBC. 1
4（t＋tBC）2
所以＝，解得tBC＝t.
1t2BC法六：时间比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．
现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过 BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(2－1)tx，tDE＝(3－2)tx，tEA＝(2－3)tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t.
[答案] t
匀变速直线运动问题的解题步骤
(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向． (2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图． (3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程． (4)统一单位，解方程求未知量．
(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论．
要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入
一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：
启动加速度a1 制动加速度a2 直轨道允许的最大速度v1 4 m/s2 8 m/s2 40 m/s 弯轨道允许的最大速度v2 直轨道长度x 20 m/s 218 m 某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，v1v1－v2
然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝，t2＝，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？
a1a2若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．
解析：不合理．理由如下．
首先对运动过程进行分析讨论，假设摩托车在直轨道上先加速至最大速度40 m/s，然后再减速至弯轨道允许的速度，则加速过程的位移为
2v24021－v0
x1＝＝ m＝200 m
2a12×4
再减速至弯轨道允许的速度时通过的位移为
222v22－v120－40x2＝＝ m＝75 m
－2a2－2×8
因为x1＋x2＝275 m＞x＝218 m，因此，如果按这种方式运动，摩托车在弯轨道上行驶的速度将大于20 m/s，不符合题目要求，故摩托车在直轨道上运行时的最大速度应小于40 m/s，才能在进入弯轨道前通过减速使速度减小为20 m/s.因而，该同学的解法不合理．
综上所述，摩托车在直轨道上的运动过程应为：从静止开始加速，当速度达到某一值(小于直轨道允许的最大速度)时开始减速，恰好在运动到直轨道末端时速度减至20 m/s.此运动过程的总位移为218 m.
法一：基本公式法(利用运动学基本公式求解) 1摩托车匀加速运动的位移x1＝a1t2
21
① ② ③ ④
1
匀减速运动的位移x2＝v2(tmin－t1)＋a2(tmin－t1)2
2x1＋x2＝x
a2tmin＋v2
又a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)，整理得t1＝
a1＋a2联立①②③④式，代入数据，整理得数学表达式 t2min＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)． 法二：推论法(利用运动学推论公式求解)
v2设行驶的最大速度为v，则匀加速运动的位移x1＝ 2a1
2
v22－v
匀减速运动的位移x2＝
－2a2
v2v2－v22
且x1＋x2＝x，即＋＝218 m
2a12a2
3
代入数据，整理得v2＝243 m2/s2，故v＝36 m/s
16v36v－v236－20故t1＝＝ s＝9 s，t2＝＝ s＝2 s
a14a28故最短时间tmin＝t1＋t2＝11 s. 法三：图象法(利用v－t图象求解)
(1)如图甲所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.
vv＋v2
x＝t1＋(tmin－t1) 22又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1) a2tmin＋v2由②得t1＝
a1＋a2a1（a2tmin＋v2）
v＝a1t1＝
a1＋a2
① ② ③ ④
联立①③④式，代入数据，整理得数学表达式 t2min＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．
(2)如图乙所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m. x＝S△OCD－S△ABD
11即x＝a1t2min－BD(tmin－t1) 22BD＝(v－20) m/s＋
（v－20 m/s）a1
a2
① ②
又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1) a1（a2tmin＋v2）得v＝
a1＋a2
③
①②③式联立，代入数据，整理得数学表达式 t2min＋5tmin－176＝0
解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)． 答案：不合理，理由见解析，正确结果为11 s
运动图象与追及相遇问题的综合问题
1．应用运动图象的三点注意
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动． (2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．
人教版(2019)高中物理必修一 第二章 2.4 章末优化总结
