v1.0 可编辑可修改 求极限的方法
具体方法
⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限
定理1①：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)?g(x)，f(x)?g(x)
x?x0x?x当x?x0时也存在且
①lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)
x?0x?x0x?x.0②lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)
x?x0x?x0x?x0又若limg(x)?0，则
x?x0f(x)在x?x0时也存在，且有 g(x)f(x)limf(x) limg(x)?g(x)limx?x0x?x0x?x0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如
?0、等情况，都不能直接用四则运算法则，0?必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
x2?4例1：求lim
x?2?x?2解：原式=limx?2??x?2??x?2??x?2lim?x?2??0
x?2?⒉用两个重要的极限来求函数的极限
①利用limx?0sinx?1来求极限 xsinx?1的扩展形为： limxx?0令g?x??0，当x?x0或x??时，则有
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v1.0 可编辑可修改 sing?x?sing?x??1?1 或limlim??gxg?x?x?x0x??例2：limx??sinx ??x解：令t=??x.则sinx=sin(?? t)=sint, 且当x??时t?0 故 limx??sinxsint?lim?1 ??xtt?0sinx2?1例3：求lim
x?1x?1???x?1??sin?x2?1??sin?x2?1??lim?x?1???2 解：原式=lim2?x?1??x?1?x?1x?1x?11②利用lim(1?)?e来求极限
xx??1(1?)?e的另一种形式为limxx??1(1??)lim??0??e.事实上，令
111??.x?????0.所以e?lim(1?)x?lim(1??)??e
xx??0x??例4: 求lim(1?2x)的极限
x?01x11??解：原式=lim?(1?2x)2x?(1?2x)2x??e2
x?0??利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限
所谓等价无穷小量即limx?x0f(x)?1.称f(x)与g(x)是x?x0时的等价无穷g(x)小量，记作f(x)~g(x).(x?x0).
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v1.0 可编辑可修改 定理2：设函数f(x),g(x),h(x)在u0(x0)内有定义，
②
且有f(x)~g(x).(x?x0)
① 若limf(x)g(x)?A,则limg(x)h(x)?A
x?x0x?x0② 若
h(x)h(x)?B,?B 则limlimf(x)g(x)x?x0x?x0g(x)?f(x)h(x)?1?A?A f(x)limx?x0证明：①limg(x)h(x)?limx?x0x?x0②可类似证明，在此就不在详细证明了！
由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例5：求limx?0tanx?sinx的极限 3sinx解：由 tanx?sinx?sinx(1?cosx).而sinx~x,(x?0)； cosxx21?cosx~,（x?0）；sinx3?x3~x3,（x?0）.
2x2x?1tanx?sinx2?1 ?故有lim= lim2sinx3x3x?0cosxx?0注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于
sinx?1，故有sinx~x,(x?0).又由于limxx?0arctanx?1,故有arctanx~x，(x?0). limxx?0另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则
不能随意代换。如上式中，若因有tanx~x，(x?0);sinx~x,(x?0).而推出
tanx?sinxx?x?0 则得到的结果是错误的。 =limlim33sinxx?0x?0sinx⒋ 利迫敛性来求极限
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数学分析求极限的方法
