习题 1—1 解答 1． 设
解
x
f
f (x, y) xy
(x,
，求
f y
x
f
f (x,y) xy 1 x 1 1 , f (xy, ( ), y f (x, y) y), x y
),
1 1 y x 1 y 1
; f (xy, x y ; ( , ) xy y 2 2 f x (x, y) xy x
；
x y )
y
2． 设 f (x, y) ln xln y ，证明： f (xy,uv) f (x,u) f (x,v) f (y,u) f (xy,uv) ln(xy) ln(uv) (ln x ln y)(lnu ln v)
ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln v f (x,u) f (x,v) f (y,u) f (y,v)
3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1） f (x, y)
1 x2 y2 1;
4x y
（2） f (x, y)
;
ln(1 x
y )
2
2
2
x
y
z
2
2
2
（3） f (x, y) 1
;
a
b
c
2
2
2
x
y z （4） f (x, y, z)
. 1
x2
y
z
2
2
解（1） D {(x, y) x 1, y 1
y
1
-1 O
1
x
-1 （2） D
(x, y) 0 x
y 1, y 4x
2 f (y,v)
2
2
2
1
y
-1
O
-1
1
x
1
（3） D
x
y
z
z 2
2
2
c
(x, y) 1
a
b
c
2
2
2
-a
-b
O
b a
x
（4）
( , , ) 0,
0, 0, 1
D
x y z x y z x2
y
z
2
2
z １
O
y
１
１ x
4．求下列各极限：
1
xy 1 0
（1） lim
x
0 x
y = 1 2
2
0 1
y1
ln(x ey
ln(1 e )
)
0
（2） lim
ln 2
x1
2
1 2
0
x
y y
0
2 xy
xy 1
4) 4)
4
4
(2
xy 4)(2
（3） lim
lim
x
xy xy 0
0
( xy
x
2
y
y0 y0
sin(xy)
sin(xy) （4） lim
lim
x 2
x y
2 x2 xy
y0
y
0
5．证明下列极限不存在：
x y
x y
（1） lim ;
2
2
x 0 x y
（2）lim
x 0
x y
(x y0
y)
2
2
y
0
（1）证明 如果动点 P(x, y) 沿 y 2x 趋向 (0,0)
x y
x 2x 则 lim
lim
3
；
x 0 x
0
x y
x 2x
y
2x
0
如果动点 P(x, y) 沿 x 2y 趋向(0,0) ，则 lim
x y y0 x y x2 y
0
2
2
lim 3 3
y
y0 y
所以极限不存在。
（2）证明： 如果动点 P(x, y) 沿 y
x 趋向(0,0)
x y
2
2
x
4
则 lim
lim
x y
2
2
1
；
(x y)
2
x 0
x
4
x 0 yx0
x y
2
2
4x
4
如果动点 P(x, y) 沿 y 2x 趋向(0,0) ，则
lim
0
lim
x y
2
2
(
2
x
4
x
2
x y)
x 0 y2x
x 0
0
4
所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点： （1） f (x, y)
y
2
2x
；
（2） z
y 。
y 2x
ln x
解 （1）为使函数表达式有意义，需 y
（2）为使函数表达式有意义，需 x 习题 1—2 1．（1） z
2x 0 ，所以在 y 2x 0 处，函数间断。
y ，所以在 x y 处，函数间断。
x y
x
y
z y 1 x
. ；
z y x
2 2 1
y x x y z
y cos(xy) 2y cos(xy) sin(xy) y[cos(xy) sin(2xy)]
(2)
x z y
(3)
z
y
1
x cos(xy) 2x cos(xy) sin(xy) x[cos(xy) sin(2xy)] y(1 xy)
2
y 1
x
y y (1 xy) ,
1
lnz= yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得
z x
z
ln(1 xy) y , y 1 xy
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答
