23．（本小题满分 10 分） 问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a ?b 的
b 的矩形， 方格纸（a? b的方格纸指边长分别为 a，被分成 a ?b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ，b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进， 最后得出一般性的结论． 探究一：
把图①放置在 2 ?2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的 放置方法？
如图③，对于 2?2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放 置方法．
探究二：
把图①放置在 3?2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的 放置方法？
如图④，在 3?2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2 ? 方格，依据探究一的结论 可知，把图①放置在 3?2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ? 4＝8种 不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在 a ? 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的 放置方法？
如图⑤， 在 a ? 2 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 2?2方格，依据探究 一的结论可知，把图①放置在 a ? 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 _________种不同的放置方法．
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探究四：
把图①放置在 a ? 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的 放置方法？
如图⑥，在 a ? 3 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 2? 2方格，依据探究 一的结论可知，把图①放置在 a ? 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 _________种不同的放置方法． ……
问题解决：
把图①放置在 a ? b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的 放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．） 问题拓展：
如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分 别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 a ?b ?c 个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体．
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24．（本小题满分 12 分）
已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ?ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂 直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP， EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 ?BAC 的平分线上？
（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出
t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出
t 的值；若不存在，请说明理由．
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2024年青岛市中考数学试卷（解析版）
