习题5-2
1. 求下列各曲线所围图形的面积：
1
（1） y=x2 与x2+y2=8(两部分都要计算)；
2解：如图D1=D2
??y=1x2
解方程组?2 得交点A(2，2)
22??x+y=8
(1)
212?D1=?8?x2?2x2?dx=π+3
??0?4
∴ D1+D2=2π+3,
44
D3+D4=8π??2π+3?=6π?3．
??
1
（2） y=与直线y=x及x=2；
x
2113?解： D1=?x?x?dx=?2x2?lnx?=2?ln2.
??1?1??
2
(2)
（3） y=ex，y=e?x与直线x=1； 11x?e?xdx=e+?2．解：D=?e)
?0(e
(3)
（4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)； 解：D=??
lnblna
eydy=b?a．
(4)
（5） 抛物线y=x2和y=?x2?2；
?y=x2解：解方程组?得交点 (1，1)，(?1，1)
?y=?x2?2
D=??
1?1
81222??x+2?xdx=4?x+1dx=())3． ?(
0
(5)
π9（6） y=sinx，y=cosx及直线x=，x=π；
44
?5?
4
解：D=2?4(sinx?cosx)dx =2[?cosx?sinx]?=42．
?
4??
4
5?
(6)
（7） 抛物线y=?x2+4x?3及其在(0，?3)和(3，0)处的切线；
解：y′=?2x+4． ∴y′(0)=4，y′(3)=?2． ∵抛物线在点(0，?3)处切线方程是y=4x?3 在(3，0)处的切线是y=?2x+6 3
两切线交点是(，3)．故所求面积为
2
(7)
2?dx??3???2x?6????x2?4x?3??dxD???4x?3??x?4x?3????????23203203??x2dx??3?x2?6x?9?dx23
9?.4（8） 摆线x=a(t?sint)，y=a(1?cost)的一拱 (0?t?2?)与x轴，这里a为正常数； 解：当t=0时，x=0, 当t=2?时，x=2?a． 所以
S??2πa02ydx??a?1?cost?da?t?sint?02π22π?a?0?1?cost?dt
?3πa2. (8)
（9） 极坐标曲线 ρ=asin3φ，这里a为正常数； a2??2
解：D=3D1=3·2?3sin3φdφ
?
0
3a2??1?cos6φ= ·3 dφ 2?2?
0
3a2?1= ·φ?sin6φ?3 4?6?
0
?
?a2=． 4
(9) （10） 极坐标曲线ρ=2acosφ，这里a为正常数；
??12
解：D=2D1=2?22·4a·cos2φdφ
?0
=4a2
?? 1?cos2φdφ ?2
2?0
?
11
=4a2·?φ+sin2φ?2
2?2?
0
1?
=4a2··=?a2．
22
(10)
2． 2. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;
解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．
(11)
（2） r=2cosθ及r2=3sin2θ．
??r=2cosθ解：如图12，解方程组?2
?r=3sin2θ?
3
得cosθ=0或tanθ=3, ??
即θ=2或θ=6．
(12)
?1
?122
D=?62·3sin2θdθ+?2·(2cosθ)dθ
??
?0
?
??
6
?3?6θ
=??4cos2θ?+2+ ??
0
?
?
?1sin4θ?
?4??
6
2
?
=6．
9
3． 3. 已知曲线f(x)=x?x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．
2
?f(x)=x?x2
解：如图13，解方程组?得交点坐标为(0，0)，(1?a，a(1?a))
?g(x)=ax
∴D=??
1?a0
(x?x2?ax)dx
1?a
11
=?2(1?a)·x2?3x3? ??01
=6(1?a)3
193= 1?a()62
得a=?2．
(13)
依题意得
习题5-3
1. 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。
解：如图14建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，
h
于是得到ED所在的直线方程为：y=(x?A)
a?A
(14)
对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆A?aB?b
的半轴为： x1=A?hy，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=B?hy．
故该椭圆面积为
A-a??B-b?
A(y)=?x1x2=??A-?hy??B-hy? 从而立体的体积为
h
?A-A-ay??B-B-by?dy ?V=?Aydy=?()?0?0?h??h?
h
1
=?h[bA+aB+2(ab+AB)] . 6
2. 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图15.
(15)
解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．
过区间[?R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于
A(x)=
3
2y2=3y2=3(R2?x2) (?R≤x?R) 4()
R
从而该立体的体积为
V=??
R
A(x)dx=?3(R2?x2)dx ??R?R
43
=3R3．
4． 3. 求下列旋转体的体积： （1） 由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；
高数习题第五章习题黄立宏第4版
