1
A．增加了一项 2?k＋1?11
B．增加了两项、 2k＋12k＋2
1
C．增加了B中两项但减少了一项
k＋1D．以上各种情况均不对 答案 C
111111
解析 ∵n＝k时，左边＝＋＋?＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋?＋
2k2kk＋1k＋2k＋2k＋3＋
11
＋， 2k＋12k＋2
111
∴增加了两项、，少了一项. 2k＋12k＋2k＋1
111127
3． 用数学归纳法证明不等式1＋＋＋?＋n－1> (n∈N*)成立，其初始值至少应取
24642
( )
A．7 答案 B
1
1－n21111
解析 左边＝1＋＋＋?＋n－1＝＝2－n－1，代入验证可知n的最小值是8.
24122
1－2二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面
分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋________. 答案 k＋1
解析 当n＝k＋1时，第k＋1条直线被前k条直线分成(k＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k＋1个区域．
11112k＋1
1＋??1＋??1＋???1＋k?>5． 用数学归纳法证明? (k>1)，则当n＝k＋1时，?3??5??7??2－1?2
左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．
111－
答案 ?1＋2k＋1??1＋2k＋3???1＋2k＋1－1? 2k1
??????
1??1＋解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是
?2k＋1?，最后一个是
B．8
C．9
D．10
?1＋k＋1?，根据等差数列通项公式可求得共有?21?2－1?
k＋1
－1?－?2k＋1?－－
＋1＝2k－2k1＝2k1
2
项．
1
6． 在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．
3
1
答案 an＝ ?2n－1??2n＋1?
11
解析 当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；
515当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3， 11
即a3＝(a1＋a2)＝；
1435
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4， 11
即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.
2763
1111111
∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，
31×3153×5355×77×91故猜想an＝. ?2n－1??2n＋1?三、解答题
11?311，时，f(x)≥. 7． (13分)已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈??42?268
(1)求a的值；
11
(2)设0 2n＋1323?a?2a2 (1)解 由题意，知f(x)＝ax－x＝－?x－3?＋. 226a?a211?又f(x)max≤，所以f?3?＝≤. 666所以a2≤1. 11?1，时，f(x)≥， 又当x∈??42?8 ?所以? ?1?≥1，f??4?8 1?1f??2?≥8， ?即?a31?4－32≥8，a31－≥，288 解得a≥1. 又因为a2≤1，所以a＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： 1 ①当n＝1时，0 2110，?时，0 11 所以0 63故n＝2时，原不等式也成立． 1 ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0 k＋1 131 0，?时，f(x)为增函数． 因为f(x)＝ax－x2的对称轴为直线x＝，所以当x∈??3?231?11?所以由0 ??k＋13 k＋41311111 于是，0 1 根据①②，知对任何n∈N*，不等式an<成立． n＋1
2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法
