2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法

§13.4 数学归纳法

2014高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．

复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤．

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本 疑点清源]

1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．

1． 凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.

答案 π

解析 易得f(k＋1)＝f(k)＋π.

111

2． 用数学归纳法证明：“1＋＋＋?＋n1)”，由n＝k (k>1)不等式成立，推证

232－1

n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案 2k

11

解析 n＝k时，左边＝1＋＋?＋k，

22－1当n＝k＋1时，

1111

左边＝1＋＋＋?＋k＋?＋k＋1. 232－12－1所以左边应增加的项的项数为2k. 3． 用数学归纳法证明1＋a＋a＋?＋a

左边需计算的项是 A．1

2

n＋1

1－an2

＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，

1－a

＋

( )

B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3

C．1＋a＋a2 答案 C

解析 观察等式左边的特征易知选C.

1111111

4． 已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋?－＝2?n＋2＋n＋4＋?＋2n?时，

234n??

若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案 B

解析 因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B. 1111

5． 已知f(n)＝＋＋＋?＋2，则

nn＋1n＋2n

11

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

23411

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

234答案 D

解析 从n到n2共有n2－n＋1个数， 所以f(n)中共有n2－n＋1项.

( ) ( )

题型一 用数学归纳法证明等式

11111111

例1 已知n∈N*，证明：1－＋－＋?＋－＝＋＋?＋.

2342n2n－12nn＋1n＋2

思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，末项与n有关，右边的分母是从n＋1到n＋n的连续正整数，首、末项都与n有关． 11

证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，

221

右边＝，等式成立；

2

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即 111111－＋－＋?＋－ 2342k－12k＝

111＋＋?＋，

2kk＋1k＋2

那么当n＝k＋1时，

1111111

左边＝1－＋－＋?＋－＋－ 2342k－12k2?k＋1?－12?k＋1?111?11?＋＋?＋＝k＋1k＋2＋－2k?2k＋12?k＋1? ?

11?1111?－＝＋＋?＋＋＋

2k2k＋1?k＋12?k＋1??k＋2k＋3＝

1111

＋＋?＋＋＝右边，

?k＋1?＋1?k＋1?＋2?k＋1?＋k?k＋1?＋?k＋1?

所以当n＝k＋1时等式也成立．

综合(1)(2)知对一切n∈N*，等式都成立．

探究提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；

(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*，

111n

＋＋?＋＝. 1×33×5?2n－1??2n＋1?2n＋1

11

证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，

1×33右边＝

11

＝，左边＝右边，所以等式成立．

2×1＋13

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即 111k＋＋?＋＝， 1×33×5?2k－1??2k＋1?2k＋1则当n＝k＋1时，

1111

＋＋?＋＋ 1×33×5?2k－1??2k＋1??2k＋1??2k＋3?