2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)

专题15 数形结合思想

专题点拨

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．

(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；

④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题；

⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．

(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

①准确画出函数图像，注意函数的定义域；

②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．

(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．

例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

【例1】 若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．

x??2－1，x＞0，

【变式训练1】 已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范

?－x－2x，x≤0.?

围为________．

【例2】 若实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：

(1)点(a，b)对应的区域的面积； b－2

(2)的取值范围； a－1(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．

二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用 x－1≥0，??y

【例3】若x，y满足约束条件?x－y≤0，则的最大值为________．

x??x＋y－4≤0，

2??x＋bx＋c，x≤0，

【例4】设函数f(x)＝?若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点

?2，x＞0，?

个数为________．

【例5】 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围．

三、数形结合思想在平面解析几何中的应用

【例6】已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|＋|CD|等于( )

A．10 B．12 C．14 D．16

巩固训练 x－y＋3≤0??

1．已知x，y满足约束条件?3x＋y＋5≤0，则z＝x＋2y的最大值是________．

??x＋3≥0

2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式x[f(－x)－ f(x)]<0的解集为________．

3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．

4．若x∈(1，2)时，不等式(x－1)2

5．已知函数f(x)＝{－x2＋2x，x≤0，ln（x＋1），x>0，若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是________.