北京市西城区2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷
(试卷满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 不等式x(x?2)?3的解集是( ) (A){x?3?x?1}
(B){x?1?x?3} (D){xx??1,或x?3}
(C){xx??3,或x?1}
2. 在等比数列{an}中,若a1a2a3?—8,则a2等于( ) (A)—
8 3(B)—2
(C)?8 3
(D)?2
3. 总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成。利用下面的随机数表选取4个个体。选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( )
7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481 (A)02
(B)14
(C)18
(D)29
4. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
(A)1
(B)5
2
2(C)14
2 (D)30
5. 在△ABC中,若sinA?sinB?sinC,则△ABC的形状是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)无法确定
6. 已知不等式(A)
1 4x?5?0的解集为P。若x0?P,则“x0?1”的概率为( ) x?1112 (B) (C) (D)
3237. 设a?0,b?0,则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)a?(C)
1≥2 a
(B)a?b≥2(a?b?1) (D)a?b≥2ab
33222a?b≥a?b
8. 已知数列A:a1,a2,…,an(0?a1?a2?…?an,n?3)具有性质P:对任意
i,j(1?i?j?n),aj?ai与aj?ai两数中至少有一个是该数列中的一项。给出下列三个结论:
①数列0,2,4,6具有性质P; ②若数列A具有性质P,则a1?0;
③若数列a1,a2,a3(0?a1?a2?a3)具有性质P,则a1?a3?2a2。 其中,正确结论的个数是 (A)3
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%,在一次考试中,男、女生平均分数依次为72、74,则这次考试该年级学生的平均分数为_______________。
10. 下图是甲,乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图。那么甲、乙两人得分的标准差s
甲
(B)2 (C)1 (D)0
___________s乙(填“<”,“>”或“=”)。
11. 已知{an}是公差为d的等差数列,a1?1。如果a2·a3?a5,那么d的取值范围是______________。
12. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{2,4,6}中随机选取一个数为b,则b?a的概率是______________。
13. 若实数a,b满足2a?2b?1,则a?b的最大值是______________。
?x?y?4?0,??t?x?t?14. 设M为不等式组?x?y?4?0,所表示的平面区域,N为不等式组?所表示的
?0?y?4?t?y?0?平面区域,其中t?[0,4]。在M内随机取一点A,记点A在N内的概率为P。 (ⅰ)若t?1,则P=______________; (ⅱ)P的最大值是______________。
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)
在等差数列{an}中,a2??1,2a1?a3??1。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设{an}的前n项和为Sn。若Sk??99,求k。 16. (本小题满分13分) 在△ABC中,A??4,B??3,BC?2。
(Ⅰ)求AC的长; (Ⅱ)求AB的长。 17. (本小题满分14分)
经统计,某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间(单位:分钟)。现从在校学生中随机抽取100人,按上学所需时间分组如下:第1组(0,10],第2组(10,20],第3组(20,30],第4组(30,40],第5组(40,50],得到如图所示的频率分布直方图。
(Ⅰ)根据图中数据求a的值;
(Ⅱ)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查,应从这三组中各抽取几人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动,求第4组至少有1人被抽中的概率。
18. (本小题满分13分) 已知函数f(x)?a(x?2)(x?a?1a),其中a?0。 (Ⅰ)若a?1,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值; (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)?0。 19. (本小题满分14分)
已知数列{an*n}的前n项和Sn?3?1,其中n?N。
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1?1,bn?3bn?1?an(n?2), (ⅰ)证明:数列?
?bn?
?3n?1?为等差数列; ?
(ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。 20. (本小题满分13分)
在无穷数列{a**n}中,a1?1,对于任意n?N,都有an?N,an?an?1 。使得an?m成立的n的最大值为bm。
(Ⅰ)设数列{an}为1,3,5,7,…,写出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}为等比数列,且a2?2,求b1?b2?b3?…?b50的值; (Ⅲ)若{bn}为等差数列,求出所有可能的数列{an}。
设m?N*,记
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。 1. A;2. B;3. D;4. C;5. B;6. B;7. D;8. A
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。 9. 73.1; 10. >; 11. (0,
1331);12. ; 13. ?2;14. , 2582注:14题第一问2分,第二问3分。
三、解答题:本大题共6小题,共80分。若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分。 15. (本小题满分13分)
(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为d。
?a1?d??1,依题意,得?。
3a?2d??1?1解得a1?1,d??2。
【4分】
【6分】
【8分】
所以数列{an}的通项公式为an?a1?(n?1)d??2n?3。
(Ⅱ)解:Sn?n(a1?an)n(?2n?4)???n2?2n。 22
【10分】
22令Sn??k?2k??99,即k?2k?99?0。
【12分】 【13分】
解得k?11,或k??9(舍去)。
16. (本小题满分13分) (Ⅰ)解:由正弦定理可得所以AC?
ACBC?, sinBsinA
【3分】 【6分】
BC?sinB?6
sinA(Ⅱ)解:由余弦定理,得AC?AB?BC?2AB?BC?cosB,
222【9分】
化简为AB?2AB?2?0,
2
【11分】 【13分】
解得AB?1?3,或AB?1?3(舍去)。
17. (本小题满分14分)
(Ⅰ)解:因为(0.005+0.01+a+0.03+0.035)?10?1, 所以a?0.02。
【2分】 【3分】
(Ⅱ)解:依题意,第3组的人数为0.3?100?30,第4组的人数为0.2?100?20,第5组的人数0.1?100?10,所以这三组共有60人。
【4分】
【5分】
利用分层抽样的方法从这60人中抽取6人,抽样比为所以在第3组抽取的人数为30?的人数为10?
61?。 601011?3,在第4组抽取的人数为20??2,在第5组抽取1010
【8分】
1?1。 10
(Ⅲ)解:记第3组的3人为A1,A2,A3,第4组的2人为B1,B2,第5组的1人为C1。 从6人中抽取2人的所有情形为:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共15种可能。
【11分】
其中第4组的2人中,至少有1人被抽中的情形为:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共9种可能。
【13分】
【14分】
所以,第4组至少有1人被抽中的概率为P?18. (本小题满分13分)
93?。 155(Ⅰ)解:a?1时,f(x)?(x?2)x?(x?1)?1.
2 【1分】 【2分】
所以,函数f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,3)上单调递增。
所以f(x)在[0,3]上的最小值为f(1)??1。 又f(3)?f(0),
所以f(x)在[0,3]上的最大值为f(3)?3。
【3分】
【4分】
(Ⅱ)解:(1)当a?0时,原不等式同解于(x?2)(x?a?1)?0。 a 【5分】
a?1a?1??0, aaa?1所以 ?2,
a因为2?
【6分】 【7分】 【8分】
a?1}。 aa?1(2)当a?0时,原不等式同解于(x?2)(x?)?0。
aa?1a?1由2?,得: ?aaa?1①若?1?a?0,则2?,
aa?1此时,f(x)?0的解集为{x2?x?}。
a此时,f(x)?0的解集为{xx?2,或x?②若a??1,原不等式无解。 ③若a??1,则2?
【10分】 【11分】
a?1, aa?1?x?2}。 a
【13分】
此时,f(x)?0的解集为{x综上,当a?0时,不等式的解集为{xx?2,或x?为{x2?x?{xa?1};当?1?a?0时,不等式的解集a;当a??1时,不等式的解集为a?1};当a??1时,不等式的解集为?aa?1?x?2}。 a19. (本小题满分14分)
n(Ⅰ)解:因为数列{an}的前n项和Sn?3?1,
nn?1n?1所以an?Sn?Sn?1?(3?1)?(3?1)?2.3(n?2)。
【2分】 【3分】 【4分】
因为n?1时,a1?S1?2,也适合上式,
n?1*所以an?2.3(n?N)。
n?1(Ⅱ)(ⅰ)证明:当n?2时,bn?3bn?1?2.3,
将其变形为
bnbn?1bnbn?1,即??2。 ??2n?1n?2n?1n?23333 【6分】
所以,数列?
b1?bn?
是首项为?1,公差为2的等差数列。 ?0n?1
3?3?
bn?1?2(n?1)?2n?1。 n?13
【8分】
(ⅱ)解:由(ⅰ)得,
n?1*所以bn?(2n?1)?3(n?N)。
【10分】
012n?1因为Tn?1?3?3?3?5?3???(2n?1)?3, 123n所以3Tn?1?3?3?3?5?3???(2n?1)?3。
【12分】
12n?1n两式相减得2Tn??1?2(3?3???3)?(2n?1)?3。 n*整理得Tn?(n?1)?3?1(n?N)。
【14分】
20. (本小题满分13分)
(Ⅰ)解:b1?1,b2?1,b3?2。
【3分】
(Ⅱ)解:因为{an}为等比数列,a1?1,a2?2,
n?1所以an?2,
【4分】
因为使得an?m成立的n的最大值为bm,
b2?b3?2,b4?b5?b6?b7?3,b8?b9?L?b15?4,b16?b17?L?b31?5,所以b1?1,
b32?b33?L?b50?6,
【6分】
【8分】
所以b1?b2?b3?L?b50?243。
(Ⅲ)解:由题意,得1?a1?a2?a3?L?an?L, 结合条件an?N,得an?n。
* 【9分】
又因为使得an?m成立的n的最大值为bm,使得an?m?1成立的n的最大值为bm?1,
所以b1,bb*1?m?m?1(m?N)。
设a2?k,则k?2。 假设k?2,即a2?k?2,
则当n?2时,an?2;当n?3时,an?k?1。 所以b2?1,bk?2。 因为{bn}为等差数列, 所以公差d?b2?b1?0,
所以b*n?1,其中n?N。
这与bk?2(k?2)矛盾, 所以a2?2。
又因为a1?a2?a3?L?an?L, 所以b2?2,
由{b}为等差数列,得bn,其中n?N*nn?。
因为使得an?m成立的n的最大值为bm, 所以an?n,
由an?n,得an?n。
【10分】
【11分】
【12分】
【13分】
北京市西城区2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
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