中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题
1.（2020?广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 2√5?2 ．
【解答】解：如图，连接BE，BD．
由题意BD=√22+42=2√5， ∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
12∴BE=MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧， ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为2√5?2． 故答案为2√5?2．
2.（2020?玉林）把二次函数y＝ax+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y
1
2
＝﹣a（x﹣1）+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（ ） A．﹣4
B．0
2
2
C．2 D．6
【解答】解：∵把二次函数y＝ax+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）+4a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）﹣4a＝ax﹣2ax﹣3a， ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∵（m﹣1）a+b+c≤0， ∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0， ∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6， ∴m的最大值为6， 故选：D．
3.（2020?河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交?????于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 6√2+?? 32
2
2
．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′， 此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
2
∴∠COD′＝90°，
∴CD′=√????2+????′=√22+22=2√2，
30??×2180??32?????的长l==，
∴阴影部分周长的最小值为2√2+
??3=
6√2+??． 3故答案为：
6√2+??． 3
4.（2020?鄂州）如图，已知直线y=?√3x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，
PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到
直线a的距离的最大值为 2√3 ．
【解答】解：如图，
3
在直线y=?√3x+4上，x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x=
4√33， ∴OB＝4，OA=
4√33， ∴tan∠OBA=????????=√33，
∴∠OBA＝30°，
由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ， ∴PQ=√????2?????2， 由于OQ＝1，
因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP=12OB＝2，
此时PQ=√22?12=√3，
BP=√42?22=2√3，
∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°， 若使点P到直线a的距离最大， 则最大值为PM，且M位于x轴下方，
4
过点P作PE⊥y轴于点E，
12∴EP=BP=√3，
∴BE=√(2√3)2?(√3)2=3， ∴OE＝4﹣3＝1，
12∵OE=OP，
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°+30°＝60°， 即∠EMP＝30°， ∴PM＝2EP＝2√3． 故答案为：2√3．
5.（2020?荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2√5
B．2√10 C．6√2 D．3√5 【解答】解：设C（m，0），
5
2021年中考数学选择填空压轴题汇编最值问题含解析
