中考数学选择填空压轴题汇编:最值问题
1.(2020?广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 2√5?2 .
【解答】解:如图,连接BE,BD.
由题意BD=√22+42=2√5, ∵∠MBN=90°,MN=4,EM=NE,
12∴BE=MN=2,
∴点E的运动轨迹是以B为圆心,2为半径的弧, ∴当点E落在线段BD上时,DE的值最小, ∴DE的最小值为2√5?2. 故答案为2√5?2.
2.(2020?玉林)把二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y
1
2
=﹣a(x﹣1)+4a,若(m﹣1)a+b+c≤0,则m的最大值是( ) A.﹣4
B.0
2
2
C.2 D.6
【解答】解:∵把二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=﹣a(x﹣1)+4a,
∴原二次函数的顶点为(1,﹣4a),
∴原二次函数为y=a(x﹣1)﹣4a=ax﹣2ax﹣3a, ∴b=﹣2a,c=﹣3a, ∵(m﹣1)a+b+c≤0, ∴(m﹣1)a﹣2a﹣3a≤0, ∵a>0,
∴m﹣1﹣2﹣3≤0,即m≤6, ∴m的最大值为6, 故选:D.
3.(2020?河南)如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交?????于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 6√2+?? 32
2
2
.
【解答】解:如图,作点D关于OB的对称点D′,连接D′C交OB于点E′,连接E′D、OD′, 此时E′C+E′C最小,即:E′C+E′C=CD′, 由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°,
2
∴∠COD′=90°,
∴CD′=√????2+????′=√22+22=2√2,
30??×2180??32?????的长l==,
∴阴影部分周长的最小值为2√2+
??3=
6√2+??. 3故答案为:
6√2+??. 3
4.(2020?鄂州)如图,已知直线y=?√3x+4与x、y轴交于A、B两点,⊙O的半径为1,P为AB上一动点,
PQ切⊙O于Q点.当线段PQ长取最小值时,直线PQ交y轴于M点,a为过点M的一条直线,则点P到
直线a的距离的最大值为 2√3 .
【解答】解:如图,
3
在直线y=?√3x+4上,x=0时,y=4,
当y=0时,x=
4√33, ∴OB=4,OA=
4√33, ∴tan∠OBA=????????=√33,
∴∠OBA=30°,
由PQ切⊙O于Q点可知:OQ⊥PQ, ∴PQ=√????2?????2, 由于OQ=1,
因此当OP最小时PQ长取最小值,此时OP⊥AB,∴OP=12OB=2,
此时PQ=√22?12=√3,
BP=√42?22=2√3,
∴OQ=12OP,即∠OPQ=30°, 若使点P到直线a的距离最大, 则最大值为PM,且M位于x轴下方,
4
过点P作PE⊥y轴于点E,
12∴EP=BP=√3,
∴BE=√(2√3)2?(√3)2=3, ∴OE=4﹣3=1,
12∵OE=OP,
∴∠OPE=30°,
∴∠EPM=30°+30°=60°, 即∠EMP=30°, ∴PM=2EP=2√3. 故答案为:2√3.
5.(2020?荆门)在平面直角坐标系中,长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,A(0,2),B(0,4),连接AC,BD,则AC+BD的最小值为( )
A.2√5
B.2√10 C.6√2 D.3√5 【解答】解:设C(m,0),
5