启智教育高二上数学讲义（12）
课题：4、1、2《圆的一般方程》
【学习目标】1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程,2．能分析题目的条件
选择圆的一般方程或标准方程解题,3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质.
【重点】圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用
【难点】圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程
【预习案】
一、 知识链接：1:圆的标准方程， 2:配方法 二、问题导学:
1：圆的一般方程 1）圆心 2）半径 2：点与圆关系及判定：
三：问题探究(讨论、交流、展示)
例1．求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程；
例2．若方程x2?y2?2mx??2m?2?y?2m2?0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象 求m的取值范围。
例3．圆C过点A?1,2?,B?3,4?，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
例4.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x?y?1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
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四：课堂检测 一：选择题
1.已知圆的方程为x?y?2x?6y?8?0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为 （ ） A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0
222
2.若曲线C：x＋y＋2ax－4ay＋5a－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)
2
2
22D．(2，＋∞) （ ）
3．圆x＋y－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是 ( )
A．2 B．1＋2 C．2＋
2
2
2
D．1＋22 2
4．圆x＋y＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是
1111
A．(－∞，] B．(0，] C．(－，0) D．(－∞，) （ ）
4444二：填空题
5．已知点M(1,0)是圆C：x＋y－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是
__________．
6．已知圆x＋y＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是
三：解答题
47已知方程x?y?2(t?3)x?2(1?4t)y?16t?9?0表示一个圆. (1)求t的取值范围; (2)
2222
2
2
2
求该圆半径的取值范围; (3)当t在上述范围内变化时,求该圆圆心的轨迹方程.
DE1反思感悟 将方程x2?y2?Dx?Ey?F?0配方，得(x?)2?(y?)2?(D2?E2?4F)与圆的
224标准方程进行比较得到：
D2?E2?4FDE(1)当D?E?4F?0时，方程表示以(?,?)为圆心，为半径的圆；
222DE22(2)当D?E?4F?0时，方程表示一个点(?,?)；
2222(3)当D?E?4F?0时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；
2222方程x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)叫做圆的一般方程。
22检 测
一：选择题
1.圆x＋y－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．动点A在圆x＋y＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 ( )
2
2
2
2
A．(x＋3)＋y＝4 B．(x－3)＋y＝1 C．(2x－3)＋4y＝1
2
2
222222
3212
D．(x＋)＋y＝
22
3.圆x＋y－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝ A.
12246
B. C. D．5 ( ) 555
12
4. 若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值
ab
为 D A．1 B．5 C．42 D．3＋22( )
2222
5．已知圆x＋y＝4与圆x＋y－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－y＋3＝0
2
2
D．x－y－3＝0
6.已知圆的方程为x＋y－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为 ( )
A．106 B．206 C．306 D．406 二：填空题
7．已知直线3x＋4y＋m＝0与圆x－2x＋y＝0相切，则m＝__________.
8.已知圆C:x?y?2x?ay?3?0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= . 三:解答题
2229：求圆心在直线l:x?y?0上，且过两圆C1:x?y?2x?10y?24?0和C2:x?
2
2
22y2?2x?2y?8?0交点的圆的方程．
10.已知圆C：x＋y－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
11．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0. (1)求AB的坐标；(2)求圆x－6x＋y＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
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《圆的一般方程》
