【解析】 由题意知f(x)在(0,+∞)上是减函数.A中,f(x)=
1满足要求;B中,f(x)=(x-1)2在[0,1]x上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C中,f(x)=ex是增函数;D中,f(x)=ln(x+1)是增函数. 2.函数f(x)=loga(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(2,+∞) D.(5,+∞)
【答案】D
【解析】函数f(x)=loga(x2-4x-5) 得x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.
令m(x)=x2-4x-5,则m(x)=(x-2)2-9, m(x)在[2,+∞)上单调递增,
又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞),故选D.
?ax,x?1,3.已知函数f(x)=??是R上的增函数,则实数a的取值范围是?(4?2)x?2,x?1( ?aA.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)
【答案】B
【解析】由f(x)在R上是增函数,
???a?1,则有??4?a?0,解得4≤a<8.
?2???(4?a2)?2?a?(x?a)2,x?0,4.设f(x)=??若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( ) ?1?x?x?a,x?0,) A.[-1,2] C.[1,2] 【答案】D
B.[-1,0] D.[0,2]
【解析】∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,f(x)=x+
1+a≥2+a, x当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值, 需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2. ∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
5.函数f(x)=
2?x,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( ) x?1B.(-1,2) D.[-1,2)
A.(1,2) C.[1,2) 【答案】D
【解析】 因为f(x)=故选D.
32?x=-1+在(-1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以n=2,-1≤m<2,
x?1x?11.[数学抽象、逻辑推理]已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数.如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( ) A.m-n<0 C.m+n<0 【答案】A
【解析】设F(x)=f(x)-f(-x),由于f(x)是R上的减函数,∴f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数,∴F(x)是R上的减函数,∴当m<n时,有F(m)>F(n),即f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立.因此,当f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n<0一定成立,故选A.
B.m-n>0 D.m+n>0
2.[数学抽象、逻辑推理]如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=
f(x)在区间I上是减函数,x13
那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=x2-x+是区间22I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为( ) A.[1,+∞) C.[0,1] 【答案】D
B.[0, D.[1,
3] 3]
【解析】因为函数f(x)=
123x-x+的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又22x2?3f(x)131313当x≥1时,=x-1+,令g(x)=x-1+ (x≥1),则g′(x)=-2=,由2
2xx22x22x22xg′(x)≤0得1≤x≤3,即函数[1,3 ].
6.[多选题]若函数f(x)满足条件:
f(x)13=x-1+在区间[1,3 ]上单调递减,故“缓增区间”I为x22x①对于定义域内任意不相等的实数a,b恒有
f(a)?f(b) =>0;
a?b②对于定义域内任意x1,x2都有f??x1?x2?f(x1)?f(x2)成立. ?≥
22??则称其为G函数.下列函数为G函数的是( ) A.f(x)=3x+1 B.f(x)=-2x-1 C.f(x)=x2-2x+3
D.f(x)=-x2+4x-3,x∈(-∞,1) 【答案】AD
【解析】①对于定义域内任意不相等的实数a,b恒有
f(a)?f(b)>0,则函数f(x)在定义域为增函数;
a?b②对于定义域内任意x1,x2都有f??x1?x2?f(x1)?f(x2)成立,则函数f(x)为“凸函数”.其中A.f(x)?≥
22??=3x+1在R上为增函数,且f??x1?x2?f(x1)?f(x2),故满足条件①②;B.f(x)=-2x-1在R上为?=
2?2?减函数,不满足条件①;C.f(x)=x2-2x+3在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)为增函数,不满足条件①;D.f(x)=-x2+4x-3的对称轴为x=2,故函数f(x)=-x2+4x-3在(-∞,1)上为增函数,且为“凸函数”,故满足条件①②.综上,为G函数的是A、D.
7.函数y=
3x?1的值域为________. x?2【答案】{y|y∈R且y≠3}
【解析】y=
3x?13(x?2)?77==3+,
x?2x?2x?2因为
77≠0,所以3+≠3, x?2x?23x?1的值域为{y|y∈R且y≠3}. x?2所以函数y=
8.记min{a,b}=??a,a?b,若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为________.
b,a?b,?【答案】6
【解析】由题意知,f(x)=??x?2,0?x?4,所以f(x)max=f(4)=6.
?10?x,x?411在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b=________. x?133.[数学抽象、逻辑推理]函数f(x)=
【答案】6
?f(a)?1,?【解析】易知f(x)在[a,b]上为减函数,所以?1
f(b)?,?3??1?1??a?2?a?1即?所以?所以a+b=6.
?b?4?1?1?b?13?4.[数学抽象、逻辑推理]已知函数f(x)=x+则实数a的取值范围是________. 【答案】(-∞,0]
4?1?,g(x)=2x+a,若?x1∈?,3?,?x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),x?2?【解析】当x∈?,3?时,f(x)≥2x?=4, x?2?当且仅当x=2时,f(x)min=4,
当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.
?1?4?m?x2,|x|?19.设函数f(x)=?的图象过点(1,1),函数g(x)是二次函数,若函数f(g(x))的值域是[0,+∞),
?x,|x|?1则函数g(x)的值域是________. 【答案】[0,+∞)
?m?x2,|x|?1【解析】因为函数f(x)=?的图象过点(1,1),所以m+1=1,解得m=0,
?x,|x|?1?x2,|x|?1所以f(x)=?画出函数y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象可知,
x,|x|?1?当纵坐标在[0,+∞)上时,横坐标在(-∞,-1]∪[0,+∞)上变化. 而f(x)的值域为(-1,+∞), f(g(x))的值域为[0,+∞), 因为g(x)是二次函数, 所以g(x)的值域是[0,+∞).
10.已知函数f(x)=
11- (a>0,x>0). ax(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)在?,2?上的值域是?,2?,求a的值.
22
?1????1???
专题05 函数的单调性与最值-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)