【解析】 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．A中，f(x)＝
1满足要求；B中，f(x)＝(x－1)2在[0,1]x上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝ex是增函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数． 2．函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(2，＋∞) D．(5，＋∞)
【答案】D
【解析】函数f(x)＝loga(x2－4x－5) 得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.
令m(x)＝x2－4x－5，则m(x)＝(x－2)2－9， m(x)在[2，＋∞)上单调递增，
又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.
?ax,x?1,3．已知函数f(x)＝??是R上的增函数，则实数a的取值范围是?(4?2)x?2,x?1( ?aA．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
【答案】B
【解析】由f(x)在R上是增函数，
???a?1,则有??4?a?0,解得4≤a<8.
?2???(4?a2)?2?a?(x?a)2,x?0,4．设f(x)＝??若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( ) ?1?x?x?a,x?0,) A．[－1,2] C．[1,2] 【答案】D
B．[－1,0] D．[0,2]
【解析】∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋
1＋a≥2＋a， x当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值， 需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2. ∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
5．函数f(x)＝
2?x，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( ) x?1B．(－1,2) D．[－1,2)
A．(1,2) C．[1,2) 【答案】D
【解析】 因为f(x)＝故选D.
32?x＝－1＋在(－1，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，所以n＝2，－1≤m<2，
x?1x?11．[数学抽象、逻辑推理]已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是( ) A．m－n＜0 C．m＋n＜0 【答案】A
【解析】设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m＜n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A.
B．m－n>0 D．m＋n>0
2．[数学抽象、逻辑推理]如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝
f(x)在区间I上是减函数，x13
那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间22I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( ) A．[1，＋∞) C．[0,1] 【答案】D
B．[0, D．[1,
3] 3]
【解析】因为函数f(x)＝
123x－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又22x2?3f(x)131313当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋ (x≥1)，则g′(x)＝－2＝，由2
2xx22x22x22xg′(x)≤0得1≤x≤3，即函数[1，3 ]．
6．[多选题]若函数f(x)满足条件：
f(x)13＝x－1＋在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I为x22x①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有
f(a)?f(b) =＞0；
a?b②对于定义域内任意x1，x2都有f??x1?x2?f(x1)?f(x2)成立． ?≥
22??则称其为G函数．下列函数为G函数的是( ) A．f(x)＝3x＋1 B．f(x)＝－2x－1 C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1) 【答案】AD
【解析】①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有
f(a)?f(b)＞0，则函数f(x)在定义域为增函数；
a?b②对于定义域内任意x1，x2都有f??x1?x2?f(x1)?f(x2)成立，则函数f(x)为“凸函数”．其中A.f(x)?≥
22??＝3x＋1在R上为增函数，且f??x1?x2?f(x1)?f(x2)，故满足条件①②；B.f(x)＝－2x－1在R上为?＝
2?2?减函数，不满足条件①；C.f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D.f(x)＝－x2＋4x－3的对称轴为x＝2，故函数f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G函数的是A、D.
7．函数y＝
3x?1的值域为________． x?2【答案】{y|y∈R且y≠3}
【解析】y＝
3x?13(x?2)?77＝＝3＋，
x?2x?2x?2因为
77≠0，所以3＋≠3， x?2x?23x?1的值域为{y|y∈R且y≠3}． x?2所以函数y＝
8．记min{a，b}＝??a,a?b,若f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
b,a?b,?【答案】6
【解析】由题意知，f(x)＝??x?2,0?x?4,所以f(x)max＝f(4)＝6.
?10?x,x?411在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. x?133．[数学抽象、逻辑推理]函数f(x)＝
【答案】6
?f(a)?1,?【解析】易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以?1
f(b)?,?3??1?1??a?2?a?1即?所以?所以a＋b＝6.
?b?4?1?1?b?13?4．[数学抽象、逻辑推理]已知函数f(x)＝x＋则实数a的取值范围是________． 【答案】(－∞，0]
4?1?，g(x)＝2x＋a，若?x1∈?,3?，?x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，x?2?【解析】当x∈?,3?时，f(x)≥2x?＝4， x?2?当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，
当x∈[2,3]时，g(x)为增函数，故g(x)min＝22＋a＝4＋a.依题意可得f(x)min≥g(x)min，解得a≤0.
?1?4?m?x2,|x|?19．设函数f(x)＝?的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，
?x,|x|?1则函数g(x)的值域是________． 【答案】[0，＋∞)
?m?x2,|x|?1【解析】因为函数f(x)＝?的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，
?x,|x|?1?x2,|x|?1所以f(x)＝?画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，
x,|x|?1?当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f(x)的值域为(－1，＋∞)， f(g(x))的值域为[0，＋∞)， 因为g(x)是二次函数， 所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝
11－ (a>0，x>0)． ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在?,2?上的值域是?,2?，求a的值．
22
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专题05 函数的单调性与最值-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通
