第四节 变量间的相关关系、统计案例
[最新考纲] 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．
(对应学生用书第184页)
1．相关性 (1)线性相关
若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．
(2)非线性相关
若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的． (3)不相关
如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．最小二乘估计 (1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线
y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.
使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)线性回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心
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对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(x，y)称为样本点的中心．
(3)相关系数r
n?xiyi－nx yi＝1
①r＝
；
nn?x2
2
i－nx
?y22
i－nyi＝1
i＝1
②当r>0时，称两个变量正相关． 当r<0时，称两个变量负相关． 当r＝0时，称两个变量线性不相关． 4．独立性检验 若一个2×2列联表为：
B AB2 总计 B1 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 则统计量χ2为： χ2
＝
nad－bc2
a＋bc＋da＋cb＋d.
(1)当χ2
≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2
>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； (3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； (4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联． [常用结论]
1．线性回归方程y＝bx＋a一定过样本点的中心(x，y)． 2．由回归直线求出的数据是估算值，不是精确值．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．
( )
(2)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( )
^^^
(3)回归直线方程y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．
( )
(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ的观测值越小.
[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编
1．下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为( )
( )
2
x1 x2 合计 A.94,72 C．52,74
y1 a y2 21 合计 73 47 120 22 25 b 46 B．52,50 D．74,52
C [∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
^
A.y＝0.4x＋2.3 ^
C.y＝－2x＋9.5
^
B.y＝2x－2.4 ^
D.y＝－0.3x＋4.4
A [因为变量x和y正相关，排除选项C，D.又样本中心(3,3.5) 在回归直线上，排除B，选项A满足．]
3．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程^^^
为y＝0.95x＋a，则a＝________.
x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 2.6 [∵回归直线必过样本点的中心(x，y)，又x＝2，y＝4.5，代入回归方程，^
得a＝2.6.]
4．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
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2021高考数学一轮复习 第10章 算法初步、统计与统计案例 第4节 变量间的相关关系、统计案例教学
