解析 ：解：（1）①∵等差数列{an}为递增数列，且a2,a5是方程x?12x?27?0的两根，
2?a2?a5?12，a2a5?27，d＞0，?a2?3，a5?9，?d??an?2n﹣（1n?N*）
②∵Tn?1?a5?a2?2，a1?1， 312bn; ∴令n=1，得b1?， 231111bn; Tn﹣?1﹣bb?b﹣bn， ，两式相减得，1n﹣1nn﹣12222当n≥2时，Tn?1?∴
bn1?（n≥2），数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列． bn﹣13n?12?1?∴bn????3?3??2*
（n∈N）． 3nn1n2113?bn3b?c???（2）∵n，，∴． c?nn3nan?an?1?2n?1??2n?1?2n?12n?13n?2?Sn=
…+
2
=．
【思路点拨】（1）①通过解方程x﹣12x+27=0的两根，及公差d＞0即可得到a2，a5，再利用等差数列的通项公式即可得到a1与d及an；②当n≥2时，Tn?1?11bn; Tn﹣?1﹣bn﹣11，22两式相减得，bn?11bn﹣﹣bn，，再利用等比数列的通项公式即可得出； 12211?，利用裂项求和即可 2n?12n?1（2）利用（1）的结论即可得出cn?x2y2x2y220．巳知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的长轴长为42，且与椭圆??1
ab24有相同的离心率. (I )求椭圆M的方程；
(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点
A、B，且
OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
?46?8x2y222??1（Ⅱ）存在，圆的方程x?y?，AB??【答案解析】（Ⅰ）,23?. 8433??x2y2??1有相同的离 解析 ：解：(I )椭圆的长轴长为42，故a?22，又与椭圆24x2y22??1.......................................3分 心率e?,故c?2,b?2.所以椭圆M的方程为
284(II)若l的斜率存在，设l:y?kx?m,因l与C相切，故r?即m2?r21?k2.①....................5分 又将直线l方程代入椭圆M的方程得
m1?k2，
???1?2k?x22?4kmx?2m2?8?0,
设A?x1,y1?,B?x2,y2?,
?4km2m2?8,x1x2?由韦达定理得x1+x2=，................................................................(6分)
1?2k21?2k2由OA?OB?0得到x1x2+y1y2?1?k化简得3m?8?8k，② 联立①②得r?2?2??4km2m2?82m++=0，....................(7分) km221?2k1?2k228。 322综上所述，存在圆C:x?y?8..............................................(8分) 3由r?28222(x?x)?4x1x2?得AB??1?k??12?? 3?324k4?5k2?132?k2??1?=?? 31?4k2?4k43?1?4k2?4k4????32?1?32???1?k?0???,12?................................11分 ??3?4k2?1?4??3?2k??
当k?0时，AB?2?46?32,?AB??,23?， ?3?3?46, 3又当k不存在时，AB?故AB???46?,23?为所求...........................................13分 ?3?，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距
【思路点拨】（I）根据离心率为e=离之和为
，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；
，可确定m
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及
的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．
)．当x?0时，21. 已知函数f(x)是奇函数，f(x)的定义域为(??,??ln?(ex)．这里，e为自然对数的底数． x1(1)若函数f(x)在区间(a,a?)(a?0)上存在极值点，求实数a的取值范围；
3k(2)如果当x≥1时，不等式f(x)?恒成立，求实数k的取值范围；
x?1n?1?12*??nn?N(3)试判断 ln与2???的大小关系，这里,并加以证明． n?1?n?1?23?f(x)?【知识点】综合法与分析法(选修）；函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中
的应用；不等关系与不等式． 【答案解析】(1)
21123?a?1 (2) k?2 (3) ln?2(???3n?1234?n)?n n?1解析 ：解：x?0时，f(x)??f(?x)?ln(ex)1?lnx? ………2分 xx1?x?(1?lnx)?1lnx（1）当x>0时，有f?(x)?x ??22xxf?(x)?0?lnx?0?0?x?1；f?(x)?0?lnx?0?x?1
所以f(x)在（0，1）上单调递增，在(1,?)上单调递减，函数极值．由题意a?0，且a?1?a?f(x)在x?1处取得唯一的
12，解得所求实数a的取值范围为?a?1 …4分 33
（2）当x?1时，f(x)?k1?lnxk(x?1)(1?lnx)???k? x?1xx?1x 令g(x)?(x?1)(1?lnx)(x?1)，由题意，k?g(x)在?1,???上恒成立
x(x?1)(1?lnx)???x?(x?1)(1?lnx)?x?x?lnx? g?(x)? ?x2x2 令h(x)?x?lnx(x?1)，则h?(x)?1?1?0，当且仅当x?1时取等号． x 所以h(x)?x?lnx在?1,???上单调递增，h(x)?h(1)?1?0．……6分 因此，g?(x)?h(x)?0 g(x)在?1,???上单调递增，g(x)min2x?g(1)?2．
所以k?2．所求实数k的取值范围为???,2? …………………8分 （3）(方法一)由（2），当x?1时，即f(x)? 从而lnx?1?令x? ln21?lnx2，即． ?x?1xx?122?1?．………..10分 x?1xk?1(k?1,2,k22?1?, 12,n)，得
32?2， ?1?23 ……
ln lnn?1?1?2?n
nn?1 将以上不等式两端分别相加，得
123n ln(n?1)?n?2(????)234n?11123n?ln?2(????)?n ………………………14分
n?1234n?1（方法二）n?1时，ln1n??12??ln2< 2????????n?1?1?0 n?123n?1??猜想ln1n??12*?2????????n对一切n?N成立。 n?1n?1??23
欲证ln1n??12*?2????????n对一切n?N成立， n?1n?1??23只需证明 ln(n?1)?n?2?nn??12?????? 23n?1??n?n?2?k?1?12而ln(n?1)??ln，n?2???????????1??
n?1?k?1?k?1?k?23k?1而lnk?12?k?1?0,?1???0 kk?1k?1所以lnnk?12??1? kk?1k?1n?2?????1?所以?ln?成立，所以猜想正确. kk?1?k?1k?1?【思路点拨】（1）依题意，可求得当x＞0时，f（x）=
，从而可知f′（x）=﹣
，
利用f′（x）＞0可求得0＜x＜1；f′（x）＜0?x＞1，依题意即可求得实数a的取值范围； （2）依题意，可转化为求k≤=
取值范围；
（3）由（2）知，当x≥1时，f（x）≥得ln＞1﹣，ln＞1﹣
，…ln
?lnx≥1﹣＞1﹣
，
＞1﹣，令x=
（k=1，2，…，n），
（x≥1）恒成立问题，构造函数g（x）
（x≥1），利用导数法可求得g（x）min=g（1）=2，从而可得实数k的
将以上不等式两端分别相加即可．
成都七中届高三零诊模拟考试数学试题及答案(理)
