否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是____． 【答案】【解析】 【分析】
由题意可知，进行两次操作后，得出的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况： 当当当当
∵甲获胜的概率为，即
，其出现的概率为，其出现的概率为，其出现的概率为其出现的概率为
的概率为，
， ， ， ，
则满足整理得.
【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知
的展开式的各项系数和比二项式系数和大211.
（1）求的值；
（2）求展开式中所有有理项. 【答案】（1）5（2）【解析】 【分析】
（1）由题意，二项展开式的各项系数和比二项式系数和大211，得出可得解；
（2）由题意，得出展开式的通项，确定的取值，即可得到展开式中的有理项，得到答案.
，即可求
，
，
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【详解】（1）由题意，二项式可得
，解得
.
的展开式的各项系数和比二项式系数和大211，
（2）展开式的通项为当
时
是整数.
，
，
.
，
故展开式中所有有理项为:
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可
考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 18.（1）当
时，求
的最小值.
.
（2）用数学归纳法证明：【答案】（1）4（2）见证明 【解析】 【分析】
（1）由题意，化简函数的解析式为值；
（2）利用数学归纳证明方法，即可作出证明. 【详解】（1）当
时，
，
，利用基本不等式，即求解其最小
当且仅当⑵证明:①当所以当②假设当则有则当
时等号成立，故时，左边
，
的最小值为.
时，命题成立； 时，命题成立
，
时，左边
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，
所以当
时，命题也成立，
综上①②可知原命题成立.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及数学归纳证明不等式，其中解答中合理化简、构造 “一正、二定、三相等”，合理利用基本不等式求解，以及熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19.某城市关系要好的
四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、
乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4人，（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置差异）. （1）共有多少种不同的乘坐方式？
（2）若户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有多少种？ 【答案】（1）70（2）见解析 【解析】 【分析】
(1) 由题意，从8个小孩中选取4人，可得，即可得到不同的乘车方式；
（2）由题意，根据A户家庭的孪生姐妹在甲车上和A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，两种情况求解，再用分类计数原理求解，即可得到答案. 【详解】(1)由题意，从8个小孩中选取4人，可得
，即共有70中不同的乘车方式；
（2）①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，可以在剩下的3个家庭中任选2个家庭，再从每个家庭的2个小孩中任选一个来乘坐甲车，有
种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的3个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选1个，来乘坐甲车，有种乘坐方式； 则共有
种乘坐方式.
【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在
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某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
20.某理财公司有两种理财产品和，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
（1）已知甲、乙两人分别选择了产品和产品投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；
（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪家产品投资较理想？ 【答案】（Ⅰ）【解析】 试题分析：
(1)利用题意结合各个事件之间的关系可得(2)计算数学期望
. .
.
则当当
时，时，
，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品； ，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品. .所以
；（Ⅱ）应选B．
试题解析：
（Ⅰ）记事件为 “甲选择产品且盈利”，事件为“乙选择产品且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，所以又因为（Ⅱ）
假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：
，所以
，所以.所以
. .
，
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则
4 0 .
假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为： Y 则当
时，
.
，选择产品和产品一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品和2 0 产品中任选一个； 当当
时，时，
，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品； ，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品.
21.基因编辑婴儿“露露”和“娜娜”出生的消息成了全球瞩目的焦点，为了解学生对基因编辑婴儿的看法，某中学随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，抽取的45女生中赞成基因编辑婴儿的占，而55名男生中有10人表示赞成基因编辑婴儿. （1）完成关”？
列联表，并回答能否有90%的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性别有
（2）现从该校不赞成基因编辑婴儿的学生中，采用分层抽样的方法抽取7名学生，再从被抽取的7名学生中任取3人，记被抽取的3名学生女生的人数为，求的分布列和期望.
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2024-2024学年江西省上饶市高二上学期期末统考数学(理)试题
