【分析】
设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{
2}的前n项和为Tn．代入不等an1Tn﹣1|＞1，化简即可得出． 3【详解】
式2019|
数列?an?为正项的递增等比数列，a1?a5?82，a2?a4=81=a1a5，
?a1?a5?82?a1?1n?1即?解得?，则公比q?3，∴an?3， ?a1?a5?81?a5?811n12222?3?3?1?n则Tn???2?L?n?1 ?2?11333?31?31?∴2019??， ?11Tn?1?1，即2019?n?1，得3n?2019，此时正整数n的最大值为6. 33故答案为6. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：?1
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB在BC方向上的投影即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：A?0,0?，B?2,0?，C1,3，
uuuruuur??uuuvuuuruuuruuurBC??1,3则：AB??2,0?，，AB?BC??2
uuuruuuv且AB?2，BC?10，
uuuvuuuvAB?BC?2ruuuruuu??1. v?据此可知AB在BC方向上的投影为uuu2AB??
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学
解析：2 【解析】 【分析】
由题意首先求得向量?a?b，然后结合向量平行的充分必要条件可得?的值. 【详解】
rrrr=(?,2?）?(2,3)?(??2,2??3）， ?a?b由向量共线的充分必要条件有：(??2)???7??(2??3)???4????2. 故答案为2． 【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析
解析：①③ 【解析】 【分析】
利用奇偶性的定义判定函数y?f?x?的奇偶性，可判断出命题①的正误；在x??时，去绝对值，化简函数y?f?x?的解析式，可判断函数y?f?x?在区间?单调性，可判断命题②的正误；由f????,??2???π?,π?上的?2??????2以及f?x??2可判断出命题③的正误；化简?2?函数y?f?x?在区间???,??上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】
对于命题①，函数f?x??sinx?sinx的定义域为R，关于原点对称，
且f??x??sin?x?sin??x??sinx??sinx?sinx?sinx?f?x?，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当
?2?x??时，sinx?0，则f?x??sinx?sinx?2sinx，则函数
?π?y?f?x?在?,π?上单调递减，命题②错误；
?2?对于命题③，?sinx?1，sinx?1，?f?x??2，又Qf??????2，所以，函数?2?y?f?x?的最大值为2，命题③正确；
对于命题④，当0?x?π时，sinx?0，f?x??sinx?sinx?2sinx?0， 由于该函数为偶函数，当???x?0时，f?x??0， 又Qf????f?????f?0??0，所以，该函数在区间???,??上有且只有三个零点.
因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.
18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x则可知a表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据题意，设塔高为x，则可知tan60=塔与山之间的距离，可以解得塔高为考点：解三角形的运用
．
0200200?x,tan300=，a表示的为aa点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．
19．【解析】在正四棱锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在底面正方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为 解析：42 3【解析】
在正四棱锥中，顶点S在底面上的投影为中心O，即SO?底面ABCD，在底面正方形ABCD中，边长为2，所以OA=2，在直角三角形SOA中
SO?SA?OA?2?所以V?222?2?2?2
1142 sh??2?2?2?33342 3故答案为
20．5【解析】
解析：5 【解析】
21??a10?a5,m?5 22三、解答题
21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNPAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得
中点知又因为
，故平面
，平行且等于，
平面
.
，四边形AMNT为平行四边形，于是
，所以
平面
.
.
，取
的中点T，连接
，由N为
45. 3
（Ⅱ）因为所以N到平面取由所以四面体
的中点
平面
，N为
.
的中点，
的距离为，连结
.由的距离为
得，故SVBCM?，.
得到
1?4?5?25. 2的体积VN?BCM?1PA45. ?SVBCM??323【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
22．（I）2；（II）f?x?的最小正周期是?，?+k?，+k??k?Z.
3?6?【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】
（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2x?23sin x cos x， ＝﹣cos2x?3sin2x，
??2?????sin2x?＝﹣2??， 6??则f（
2?4???）＝2， ）＝﹣2sin（
336（Ⅱ）因为f(x)??2sin(2x??)． 6所以f(x)的最小正周期是?． 由正弦函数的性质得
2020-2021哈尔滨市高一数学下期末一模试题(带答案)
