高考压轴题专题训练
1． 已知点F(0,1)，一动圆过点F且与圆x?(y?1)?8内切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设点A(a,0)，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d(a)；
（3）在0?a?1的条件下，设△POA的面积为S1（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d(a)为边长的正方形的面积为S2．若正数m满足S1?mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．
2． 在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，…，对每个正整数n，点Pn位
2253的图像上，且Pn的横坐标构成以?为首项，?1为公差的等差数列?xn?． 422（1）求点Pn的坐标； （2）设二次函数fn(x)的图像Cn以Pn为顶点，且过点Dn(0,n?1)，若过
于一次函数y?x??111??Dn且斜率为kn的直线ln与Cn只有一个公共点，求lim??????的值． n???kkkkkk23n?1n??12（3）设S?{xx?2xn，n为正整数}，T?{yy?12yn，n为正整数}，等差数列?an?中的任一项
an?S?T，且a1是S?T中的最大数，?225?a10??115，求?an?的通项公式．
5757→→
3.已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－ ,0)，D（,0)，动点P（x, y)满足AP·BP＝0，动点Q（x, y)
1212→→10
满足|QC|+|QD|＝ ⑴求动点P的轨迹方程C0和动点Q的轨迹方程C1；
3
⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；
⑶固定曲线C0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。
4.已知函数f (x)＝m x2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m的取值范围；
1
⑵令t＝－m＋2，求[]；(其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1， [2.5]＝2， [－2.5]＝－3)
t
t＋
⑶对⑵中的t，求函数g(t)＝
1t
11[t][]+[t]+[]+1tt
的值域。
5.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称. （1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂
线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，
求直线L在y轴上的截距b的取值范围. 6．已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y?R都满足：f(x)?f(y)?f(x?y)
（1）求f(0)的值，并证明对任意的x?R，都有f(x)?0；
（2）设当x?0时，都有f(x)?f(0)，证明f(x)在???,???上是减函数；
（3）在（2）的条件下，求集合f(S1),f(S2),?,f(Sn),?,f(limSn)中的最大元素和最小元素。
n????7.直线x?y?n(n?N*)与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为an，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为bn.（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点） （1）求a3和b3的值； （2）求an及bn的表达式；
（3）对an个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对bn个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小． 8.已知动点M到定点（1，0）的距离比M到定直线x??2的距离小1。 ⑴求证：M点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；
（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作相互垂直的弦PA,PB，则弦AB必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：
①过（1）中的抛物线的顶点O任作相互垂直的弦OA,OB，则弦AB是否经过一个定点？若经过定点（设为Q），请求出Q点的坐标，否则说明理由；
②研究：对于抛物线y?2px上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。 9．若函数fA(x)的定义域为A?[a,b),且fA(x)?(2xb2b ??1)2??1，其中a、b为任意正实数，且a axa （1）当A=[4,7)时，研究fA(x)的单调性（不必证明）； （2）写出fA(x)的单调区间（不必证明），并求函数fA(x)的最小值、最大值； 2222 （3）若x1?Ik?[k,(k?1)),x2?Ik?1?[(k?1),(k?2)),其中k是正整数，对一切正整数k不等式 fIk(x1)?fIk?1(x2)?m都有解，求m的取值范围。 10．我们把数列{an}叫做数列{an}的k方数列（其中an>0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。 （1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小； （2）若{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求{an}的k方数列通项公式。 （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n）， S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。 k 11.记函数f(x)?f1(x)，f(f(x))?f2(x),它们定义域的交集为D,若对任意的 x?D,f2(x)?x，则称f(x)是集合M的元素. （1）判断函数f(x)??x?1,g(x)?2x?1是否是M的元素； x?1（2）设函数f(x)?loga(1?a)，求f(x)的反函数f(x)，并判断f(x)是否是M的元素； （3）若f(x)?x，写出f(x)?M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数．．．．．．．． 类型酌情给分） ．．．．．． 12． 已知抛物线C:y2?2px(p?0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （1）求抛物线C的方程． （2）设直线y?kx?b(k?0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且 |y1?y2|?a(a?0)，M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D， 得到?ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E,F， 得到?ADE和?BDF；按此方法继续下去．解决下列问题： 16(1?kb)； 2k2).计算?ABD的面积S?ABD； 1).求证：a2?3).根据?ABD的面积S?ABD的计算结果，写出?ADE,?BDF的面积；请设计一种求抛物线C与 线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积． x2213.设椭圆C:2?y?1（a?0）的两个焦点是F1(?c,0)和F2(c,0)（c?0），且椭圆C与圆 ay x2?y2?c2有公共点．（1）求a的取值范围； （2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为3?2，求椭圆的方程； （3）对（2）中的椭圆C，直线l:y?kx?m（k?0）与C交于不同的 两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A(0,?1)，求实数m的取值范围． 14.我们用min{s1,s2,?,sn}和max{s1,s2,?,sn}分别表示实数s1,s2,?,sn中的最小者和最大者． （1）设f(x)?min{sinx,cosx}，g(x)?max{sinx,cosx}，x?[0,2?]，函数f(x)的值域为A，函数g(x)的值域为B，求A?B； （2）数学课上老师提出了下面的问题：设a1，a2，…，an为实数，x?R，求函数 · O F·F x f(x)?a1|x?x1|?a2|x?x2|???an|x?xn|（x1?x2???xn?R）的最小值或最大值．为了 方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数f(x)?|x?2|?3|x?1|?|x?1|和g(x)?|x?1|?4|x?1|?2|x?2|的最值． 学生甲得出的结论是： [f(x)]min?min{f(?2),f(?1),f(1)}，且f(x)无最大值． 学生乙得出的结论是：[g(x)]max?max{g(?1),g(1),g(2)}，且g(x)无最小值． 请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由； （3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）． 15.设向量a?(x，2)，b?(x?n，2x?1) (n为正整数)，函数y?a?b在[0，1]上的最小值与最大值的 n?1n?2?9?和为an，又数列? bn ?满足： nb1??n?1?b2?????2bn?1?bn????10?(1) 求证：an?n?1． (2).求bn的表达式． ?9?????10??????9?1． 10(3) 若cn?? an? bn，试问数列? cn ?中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn ? ck成立？证明你的结论．（注：a?(a1，a2)与a??a1，a2?表示意义相同）
高考数学压轴题专题训练20道
