高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案）
无穷小. (A) (C)
?x,?x1. 当x?x0时，????都是无穷小，则当x?x0时（ D ）不一定是
??x????x?
ln?1??(x)??(x)?
1x?a22???x? ?x??(B)
?2(x)(D) ?(x)
?sinx?lim??x?asina??2. 极限
的值是（ C ）. （B） e
（C） ecota（A） 1
（D） etana
?sinx?e2ax?1x?0?f(x)??x?ax?0在x?0处连续，则a =（ D ）. ?3.
（C） e （D） ?1
f(a?h)?f(a?2h)lim?f(x)h?0x?ah4. 设在点处可导，那么（ A ）. （A） 3f?(a) （B） 2f?(a)
1f?(a)?f(a)(C) （D） 3
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
ln(x?a)?lna1lim(a?0)x5. 极限x?0的值是 a. （A） 1
（B） 0
xye?ylnx?cos2x确定函数y(x)，则导函数y?? 6. 由
y2sin2x??yexyx . ?xyxe?lnx7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直
x?1y?2z?3???1?1 . 线l的方程为 12y?2x?ln(4x)8. 求函数的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
(1?x)?ex9. 计算极限x?0.
lim(1?x)?ee?elimx?0x解：x?0lim1x1ln(1?x)?1x1x?1x?elimln(1?x)?xe??x?0x22
x10. 设f(x)在[a，b]上连续，且
xxF(x)??(x?t)f(t)dtax?[a,b]，试求出F??(x)。
解：
F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dtaax
xF?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dtaa11. 求
?xcosxdx.3sinx
F??(x)?f(x)
解
cosx1?2dx??xdsinx3?sinx21111??xsin?2x??sin?2xdx??xsin?2x?cotx?C2222
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
：
?x2?2dxxx2?112. 求
3.
令 1?tx
1232原式??1tdt11(?2)dtt1?1t2
?arcsint32121?t2 6
2xy?1?x2 的极值与拐点. 13. 求函数
2??132??解：函数的定义域（－?，+?）
2(1?x)(1?x)?4x(3?x2)y??y???2223(1?x)(1?x)
令y??0得 x 1 = 1, x 2 = -1
y??(1)?0 x 1 = 1是极大值点，y??(?1)?0x 2 = -1是极小值点
极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1 令y???0得 x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = -3 x (-?,-3) － (-3,0) + (0, 3) － (3,+?) + y?? 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）
x3y?2y?3x?x414. 求由曲线与所围成的平面图形的面积.
x3解:?3x?x2, x3?12x?4x2?0,4
x(x?6)(x?2)?0, x1??6, x2?0, x3?2.
2x3x322S??(?3x?x)dx??(3x?x?)dx?6404 4334x3x3xx02?(?x2?)?6?(x2??)016232316
11?45?2?4733
215. 设抛物线y?4?x上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧A B上，求一点P(x,y)使?ABP的面积最大.
0AB连线方程：y?2x?1?0 AB?45点P到AB的距离?ABP的面积2x?y?152?x2?2x?3? (?1?x?3)5
1?x?2x?3?45??2(?x2?2x?3)25
S?(x)??4x?4 当x?1 S?(x)?0 S??(x)??4?0 S(x)?当x?1时S(x)取得极大值也是最大值 此时y?3 所求点为(1，3)
另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4?x0),使f?(x0)??2x0??5?33?1??2, 解得x0?1,所求C点为(1,3)六、证明题（本大题4分）
2xex?016. 设，试证(1?x)?1?x.
2xf(x)?e(1?x)?(1?x),2xx?0 证明：设2xf?(x)?e(1?2x2)x?1，ff??(xx))??f4?xexf?(0,f??(x)?0f?(x)在（0，，?(?(0)?0,x)2x，因此+?）内递减。在（在（0，+?）内递减，在（0，+?）e?）内，(1?x)?(1?x)?0亦即当 x>0f(x)?f(0),0，+内，时，e(1?x)?1?x 试证e2x(1?x)?1?x.即
大一上学期（第一学期）高数期末考试题及答案
