第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2x?cos2x?1,定义推导出诱导公式(??【知识衍化体验】
【知识梳理】
1. 同角三角函数的基本关系式
平方关系:sin2??cos2??1 商数关系:
sinx?tanx;2. 能利用cosx?2,???的正弦、余弦、正切).
sin??tan? cos?π
2.诱导公式:诱导公式可概括为:k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.
2记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限. 常见的几组为: 角 正弦 余弦 正切 公式一 α+k·2π(k∈Z) 公式二 π+α 公式三 -α 公式四 π-α 公式五 π-α 2 公式六 π+α 2 3.已知一个角的某一个三角函数值,求其余三角函数值时,要特别注意这个角的范围. 4.求一个已知的角的三角函数值,其一般步骤为: (1)负角化为正角;(2)大角化为小角. 5.sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系:
(1) (sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα; (2) (sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα ; [微点提醒]
?的奇数倍和偶数倍. 23?3??应用公式有时要先技术处理一下,如sin(??)?sin(???2?)?(??).
2221.诱导公式口诀中“奇变偶不变,符号看象限”其中的奇、偶是指的2.利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
【基础自测】
疑误辨析
1. 判断下列结论正误
(1)sin(???)??sin? ( )
3(2)sin(???)?cos? ( )
23(3)cos(???)??sin? ( )
21
(4)1+tan2??教材衍化
1 ( ) cos2?2.(多选)下列式子化简结果和sinx相同的是 ( ) A.sin???x?
B.sin???x?
C.cos?????x? ?2?D.cos?x?????? 2?3.角?的终边在直线y?2x上,则
sin??????cos?????sin??????cos?????C.3
? ( )
A.
1 3B.1 D.?1
考题体验
4.(2016年全国III)若tan??A.
3 ,则cos2??2sin2?= ( ) 4644816 B. C.1 D. 2525255.(2013新课标Ⅱ)设?为第二象限角,若tan(??6.(2016年全国II)若cos(?1)?,则sin??cos?=___. 42?4??)?3,则sin2?= ( ) 51177??A. B. C. D.
552525【考点聚焦突破】
考点一.同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用
【例1-1】已知?为第四象限角,化简:cos?
2
1?sin?1?cos??sin?
1?sin?1?cos?
角度2 关于sin?,cos?的齐次式问题 【例1-2】若tan??2,求(1)
sin??cos?的值;(2)2sin2??sin?cos??cos2?的
cos??sin?值.
角度3 “sin??cos?,sin??sin?”之间的关系
【例1-3】已知sin?和cos?是方程5x2?x?m?0的两实根,求:(1)m的值;(2)当
sin2??2sin2?(3)sin?+cos?的值.(4) ??(0,?)时,求tan(3???)的值;
1?tan?
规律方法 1.已知角的一个三角函数值求其余两个三角函数值,通过sin2??cos2??1事先
sin?正弦与余弦的互化,通过?tan?实现切和弦的互化.
cos?3322. 利用(sinx?cosx)=1?sinx?cosx对sinx?cosx,sinx?cosx,sinx?cosx知一求二
的问题.
3.注意公式的逆运用及变形应用,如1=sin2??cos2?,1?sin2??cos2?,1?cos2?=sin2?. 【训练1】(1)求值(1?sin?1?sin?1?cos?1?cos??)(?)
1?sin?1+sin?1?cos?1+cos?(2)已知A、B、C是三角形的内角,3sinA,?cosA是x2?x?2a?0方程的两根.
①求角A;②若
1+2sinBcosB??3,求tanB. 22cosB?sinB (3)已知关于x的方程2x2?(3?1)x?m?0的两根为sin?,cos?,θ∈(0,2π) .
sin2?cos?求:①; ①m的值; ①方程的两根及此时θ. ?sin??cos?1?tan?
3
第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(轻巧夺冠)
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