(注:※表示重点部分;¤表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;)
人教版初中数学定理知识点汇总[八年级(上册)
第一章 勾股定理
※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即:a2?b2?c2 (由直角三角形得到边的关系),<如图1所示>
如果三角形的三边长a,b,c满足a?b?c,那么这个三角形是直角三角形。
222a 图1
c b 满足条件a2?b2?c2的三个正整数,称为勾股数。常见的勾股数组有:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,
13);(8,15,17);(7,24,25);(20,21,29);(9,40,41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)
第二章 实数
※算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作a。0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a≥0时,a才有算术平方根。
※平方根:一般地,如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根。 ※正数有两个平方根(一正一负);0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。 ※正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
??自然数(0,1,2,3?)?整数???负整数(?1,?2,?3?)?? ??12??有理数?正分数(,?)(整数、有限小数、无限循环小数)? ?23?分数(小数)??实数?12??负分数(?,??) ??23??? ??无理数?正有理数(无限不循环小数)?? ??负有理数
a?b?ab?a?0,b?0?aa?(a?0,b?0)
bb第三章 图形的平移与旋转
平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定距离,这样的图形运动称为平移。 平移的基本性质:经过平移,对应线段、对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。 旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫旋转中心,转动的角度叫旋转角。
旋转的性质:旋转后的图形与原图形的大小和形状相同;
旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;
第11页
O 图2
A C B D E F 对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。
(例:如图2所示,点D、E、F分别为点A、B、C的对应点,经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。)
第四章 四平边形性质探索
※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线
段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这
个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一
组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两
条对称轴)
※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:
有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形;
平行四边形 第12页 一内角为直角 一组邻边相等 菱形 一个内角为直角 (或对角线相等) 正方形
一组邻边相等且一个内角为直角 (或对角线互相垂直平分) 矩形 一邻边相等 或对角线垂直 图3
对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※多边形内角和:n边形的内角和等于(n-2)·180° ※多边形的外角和都等于360°
※在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图开叫做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。
第五章 位置的确定
※平面直角坐标系概念:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,水平的数
轴叫x轴或横轴;铅垂的数轴叫y轴或纵轴,两数轴的交点O称为原点。
※点的坐标:在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别
叫P点的横坐标和纵坐标,则有序实数对(a、b)叫做P点的坐标。
※在直角坐标系中如何根据点的坐标,找出这个点(如图4所示),方法是由P(a、b),在x轴上找到坐标为a的点A,过A作x轴的垂线,再在y轴上找到坐标为b的点B,过B作y轴的垂线,两垂线的交点即为所找的P点。
※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系?
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便,一般地没有明确的方法,但有以下几条常用的方法:①以某已知点为原点,使它坐标为(0,0);②以图形中某线段所在直线为x轴(或y轴);③以已知线段中点为原点;④以两直线交点为原点;⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。 ※图形“纵横向伸缩”的变化规律:
A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别变成原来的n倍时,所得的图形比原来的图形在横向:①当n>1时,伸长为原来的n倍;②当0 B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别变成原来的n倍时,所得的图形比原来的图形在纵向:①当n>1时, 伸长为原来的n倍;②当0 A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别加上a,所得的图形形状、大小不变,而位置 第13页 b B P(a、b) o A a 图4 向右(a>0)或向左(a<0)平移了|a|个单位。 B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别加上b,所得的图形形状、大小不变,而位置向上(b>0)或向下(b<0)平移了|b|个单位。 ※图形“倒转与对称”的变化规律: A、将图形上各个点的横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于x轴对称。 B、将图形上各个点的纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于y轴对称。 ※图形“扩大与缩小”的变化规律: 将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍(n>0),所得的图形与原图形相比,形状不变;①当n>1时,对应线段大小扩大到原来的n倍;②当0 第六章 一次函数 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。 ?b.?0?k?0?b?0 ?b?0? (1) (2) (3) ?1??2??3??b.?0?k?0?b?0?b?0??1??2??3?(1) (2) (3) ※正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线。 ※在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。 第七章 二元一次方程组 ※含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。 ※解二元一次方程组:①代入消元法; ②加减消元法(无论是代入消元法还是加减消元法,其目的都 是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”,所谓之“消元”) ※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:①设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题 为x或y;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);②寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。 ※处理问题的过程可以进一步概括为: 问题分析求解?方程(组)?解答 抽象检验第八章 数据的代表 ※加权平均数:一组数据 x1,x2,?xn的权分加为w1,w2,?wn,则称x1w1?x2w2???xnwn为这n w1?w2???wn个数的加权平均数。 (如:对某同学的数学、语文、科学三科的考查,成绩分别为72,50,88,而三项成绩的“权”分别为4、3、1,则加权平均数为: 72?4?50?3?88?1) 4?3?1 ※一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做 第14页 这组数据的中位数。 ※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 ※众数着眼于对各数据出现次数的考察,中位数首先要将数据按大小顺序排列,而且要注意当数据个数为奇数时,中间的那个数据就是中位数;当数据个数为偶数时,居于中间的两个数据的平均数才是中位数,特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的,但众数则不一定是唯一的。 人教版初中数学定理知识点汇总[八年级(下册) 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 ab如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, ?. cc(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: ab如果a>b,并且c<0,那么ac cc※2. 比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b; 如果a a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集: ※1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. ※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同. ¤3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式: ※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不 第15页
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