设BE＝x，则CL＝4﹣x，CE＝4+x， ∴（4+x）2＝（4﹣x）2+62， 解得：x＝，
∴
∵∠BOE＝2∠BHE， ∴
，
，
解得：tan∠BHE＝或﹣3（﹣3不合题意舍去）， ∴tan∠BHE＝．
补充方法：如图2中，作HJ⊥EB交EB的延长线于J． ∵tab∠BOE＝
＝，
∴可以假设BE＝3k，OB＝4k，则OE＝5k， ∵OB∥HJ， ∴∴
＝＝
＝＝
， ，
k， k﹣3k＝＝，
k
∴HJ＝k，EJ＝
∴BJ＝EJ﹣BE＝∴tan∠BHJ＝
∵∠BHE＝∠OBE＝∠BHJ， ∴tan∠BHE＝．
24．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标． （3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长． 解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上， ∴
得到6b+c＝9， 又∵对称轴x＝2， ∴
， ，
（如图2）．
解得b＝1， ∴c＝3，
∴二次函数的解析式为
；
（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：
∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0）
∴点A（2，0），顶点B（2，4）， ∴AB＝AC＝4，
∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°；
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF， ∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°， 设点M的坐标为（m，0）， ∴点F（m，6﹣m）， 又∵∠2＝45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°， ∴设直线EF的解析式为y＝x+b，
把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：b＝6﹣2m， 直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m， ∵直线EF与抛物线
只有一个交点，
∴，
整理得：，
∴△＝b2﹣4ac＝0，解得m＝， 点M的坐标为（，0）． 当点M在点C的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
不可
（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵，由（2）知∠BCA＝45°，
∴PG＝GC＝1， ∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF， ∴EM＝PM，
∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°， ∴∠HEM＝∠GMP， 在△EHM和△MGP中，∴△EHM≌△MGP（AAS）， ∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1， ∴点H（m﹣1，0），
∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）； ∴EA＝
＝
，
，
又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0）， ∴点D（4，2）， ∴ED＝∴EA＝ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：
＝
，
同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED．
2020年湖北省恩施州中考数学试卷 (解析版)
