23．（本题满分12分，每小题6分）
如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点， 过A点作AE∥BC，CM的延 长线与AE相交于点E，与AB相交于点F． （1）求证：四边形AEBD是平行四边形； （2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
23．证明：（1）∵AE//BC，∴∠AEM=∠DCM，∠EAM=∠CDM，……………………（1分）
又∵AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE＝CD，…………………………（1分） ∵BD=CD，∴AE=BD．……………………………………………………（1分） ∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．……………………………（2分）
B D
图7
C
F M E A
AFAE．…………………………………………………（1分） ?FBBCAFAE1 ∵AE=BD=CD，∴ ??，∴AB=3AF．……………………………（1分）
FBBC2（2）∵AE//BC，∴
∵AC=3AF，∴AB=AC，…………………………………………………………（1分） 又∵AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD是矩形．……………………………………………………（1分）
静安区
23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD中， AC、DB交于点E， 点F在BC的延长线上，联结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．
A D EFAB? （1）求证：； BFDBB
E 6 第23题图
C
F （2）如果BD2?2AD?DF，求证：平行四边形ABCD是矩形．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC ，AB//DC
∴∠BAD+∠ADC=180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF+∠DEF =180°, ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF……（1分） ∵∠DEF=∠ADC∴∠BAD=∠BEF， …………………………（1分） ∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB …………………………（1分） B F E A D EFAB∴△ADB∽△EBF ∴ ………………………（2分） ?BFDBADBE(2) ∵△ADB∽△EBF,∴, ………………………（1分） ?BDBF1在平行四边形ABCD中，BE=ED=BD
212∴AD?BF?BD?BE?BD
2第23题图
C
∴BD2?2AD?BF, ………………………………………（1分） 又∵BD?2AD?DF
∴BF?DF,△DBF是等腰三角形 …………………………（1分） ∵BE?DE∴FE⊥BD, 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD是矩形 …………………………（1分） 闵行区
23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．
（1）求证：BF?BC?AB?BD； （2）求证：四边形ADGF是菱形．
B F E
G
C
A D
2（第23题图）
7
23．证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．
∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．…………………………（1分） 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．……………………………（1分） ∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，
∴?ABF∽?CBD．…………………………………………………（1分） ∴
ABBF．………………………………………………………（1分） ?BCBD∴BF?BC?AB?BD．………………………………………………（1分） （2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠FAB．………………（1分）
∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，
∴?ABF≌?GBF．∴AF=FG，BA=BG．…………………………（1分） ∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，
∴?ABD≌?GBD．∴∠BAD=∠BGD．……………………………（1分） ∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，
∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．……………………………………（1分） 又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形．……………………（1分） ∴AF=FG．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF是菱形．……………………………………………（1分）
普陀区
23．（本题满分12分）
已知：如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，
FG∥AD，且FG?EF.
（1）求证：四边形ABED是菱形； （2）联结AE，又知AC⊥ED，求证：
B
F E 图9
C G
A
D
1AE2?EFgED. 2
8
23．证明：
（1）∵ AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形． ······ （2分）
∵FG∥AD，∴同理
FGCF?． ···················· （1分） ADCAEFCF? ． ························ （1分） ABCAFGEF得＝ ADAB∵FG?EF，∴AD?AB． ···················· （1分） ∴四边形ABED是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD，与AE交于点H．
∵四边形ABED是菱形，∴EH?1AE，BD⊥AE． ········ （2分） 2得?DHE?90o ．同理?AFE?90o．
∴?DHE＝?AFE． ······················· （1分） 又∵?AED是公共角，∴△DHE∽△AFE． ············ （1分）
EHDE?． ························· （1分） EFAE1∴AE2?EFgED． ······················· （1分） 2∴青浦区
23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）
如图7，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC、BD 交于点M，点E在边 BC上，且
?DAE??DCB，联结AE，AE与BD交于点F．
（1）求证：DM2?MF?MB； （2）联结DE，如果BF?3FM，
求证：四边形ABED是平行四边形.
BAMDFEC图7
23．证明：（1）∵AD//BC，∴?DAE??AEB，··············· （1分）
∵?DCB??DAE，∴?DCB??AEB， ·········· （1分） ∴AE//DC， ························ （1分）
9
FMAM． ····················· （1分） ?MDMCAMDM∵AD//BC，∴， ················ （1分） ?MCMBFMDM∴， ····················· （1分） ?MDMB∴
即MD2?MF?MB．
（2）设FM=a，则BF=3a，BM=4a． ············· （1分）
由MD2?MF?MB，得MD2?a?4a，
∴MD?2a， ······················· （1分） ∴DF?BF?3a． ····················· （1分） ∵AD//BC，∴
AFDF??1， ················ （1分） EFBF∴AF?EF， ······················· （1分） ∴四边形ABED是平行四边形. ················· （1分）
松江区
23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，
F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
（2）BE?AE?2AD?BC.
D E C
A
23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：
(1) ∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE…………………………………………………1分 ∵AE⊥BE ∴∠AEB=90° ∵F是AB的中点
F
(第23题图)
B 10
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题
