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几何证明专题
宝山区、嘉定区
23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图6,在正方形ABCD中,点M是边BC上的一点(不与B、C重合),点N在CD边的延长线上,且满足?MAN?90?,联结MN、AC,MN与边AD交于点E. (1)求证;AM?AN;
(2)如果?CAD?2?NAD,求证:AM2?AC?AE. C
23.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB?AD,?BAD??B??ADC??BCD?90?……1分 ∴?MAB??MAD?90? ∵?MAN?90?
∴?NAD??MAD?90? ∴?MAB??NAD………1分 ∵?ADN??ADC?180? ∴?ADN?90?……1分 ∴?B??ADN……………………1分 ∴△ABM≌△ADN ………………………1分 ∴AM?AN ……………………………1分
(2)∵四边形ABCD是正方形 ∴AC平分?BCD和?BAD ∴?BCA?D E N
M B A 图6
11?BCD?45? ,?BAC??CAD??BAD?45?……1分 22∵?CAD?2?NAD ∴?NAD?22.5?
C D E 1 N
M B A ∵?MAB??NAD ∴?MAB?22.5?………1分 ∴?MAC?22.5? ∴?MAC??NAE?22.5? ∵AM?AN,?MAN?90? ∴?ANE?45?
∴?ACM??ANE…………………1分 ∴△ACM∽△ANE…………1分 ∴
AMAC……1分 ?AEAN∵AM?AN
∴AM?AC?AE…………1分
长宁区
23.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)
如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E在BC的延长线,联结AE分别交BD、CD于点
2G、F,且AD?GF.
BEAG(1)求证:AB//CD;
(2)若BC2?GD?BD,BG=GE,求证:四边形ABCD是菱形.
23.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)
BAGFDCE第23题图
证明:(1)∵AD//BC ∴AD?DG (2分)
BEBG∵
ADGF ∴DG?GF (1分) ?BEAGBGAG∴ AB//CD (2分) (2)∵AD//BC,AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD (1分)
∵ BC2?GD?BD∴ AD2?GD?BD即
ADGD ?BDAD 又 ∵?ADG??BDA ∴?ADG∽?BDA (1分) ∴?DAG??ABD
2
∵AB//CD ∴?ABD??BDC ∵AD//BC ∴?DAG??E
∵BG=GE ∴?DBC??E ∴?BDC??DBC (3分) ∴BC=CD (1分) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形. (1分) 崇明区
23.(本题满分12分,第(1)、(2)小题满分各6分)
如图,AM是△ABC的中线,点D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交
E BC于点K,CE∥AM,联结AE.
A (1)求证:
ABCM; ?EKCK(2)求证:BD?AE.
23.(本题满分12分,每小题6分) (1)证明:∵DE∥AB
∴ ∠ABC?∠EKC ……………………………………………………1分
∵CE∥AM
∴ ∠AMB?∠ECK ……………………………………………………1分
∴△ABM∽△EKC ……………………………………………………1分 ∴
B
K M
(第23题图)
D
C
ABBM ………………………………………………………1分 ?EKCK ∵ AM是△ABC的中线
∴BM?CM ………………………………………………………1分
∴
ABCM ………………………………………………………1分 ?EKCK3
(2)证明:∵CE∥AM
DECM ………………………………………………………2分 ?EKCKABCM 又∵ ?EKCK ∴
∴DE?AB ………………………………………………………2分 又∵DE∥AB
∴四边形ABDE是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD?AE ………………………………………………………1分
奉贤区
23.(本题满分12分,每小题满分各6分)
已知:如图7,梯形ABCD,DC∥AB,对角线AC平分∠BCD, 点E在边CB的延长线上,EA⊥AC,垂足为点A. (1)求证:B是EC的中点;
(2)分别延长CD、EA相交于点F,若AC2?DC?EC,
图7
D C A B
求证:AD:AF?AC:FC.
E
黄浦区
23.(本题满分12分)
如图,点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点. (1)求证:BE=BF;
(2)当△BEF为等边三角形时,求证:∠D=2∠A.
4
23. 证:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=AD=CD,∠A=∠C,——————————————————(2分) 又E、F是边的中点,
∴AE=CF,——————————————————————————(1分)
∴△ABE≌△CBF———————————————————————(2分) ∴BE=BF. ——————————————————————————(1分)
(2)联结AC、BD,AC交BE、BD于点G、O. ——————————(1分) ∵△BEF是等边三角形, ∴EB=EF,
又∵E、F是两边中点, ∴AO=
1AC=EF=BE.——————————————————————(1分) 2又△ABD中,BE、AO均为中线,则G为△ABD的重心, ∴OG?11AO?BE?GE, 33∴AG=BG,——————————————————————————(1分) 又∠AGE=∠BGO,
∴△AGE≌△BGO,———— ——————————————————(1分)
∴AE=BO,则AD=BD,
∴△ABD是等边三角形,—— —————————————————(1分) 所以∠BAD=60°,则∠ADC=120°,
即∠ADC=2∠BAD. ——— ——————————————————(1分)
金山区
5
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题
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