第三章 一阶微分方程的解的存在定理
教学目的
讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理
教学要求
掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可
微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。
教学重点
几个主要定理的条件及其证明 教学难点
逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法
教学方法
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入
在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为y'?x2?y2，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，
§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
教学目的
讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。 教学要求
熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解， 教学重点
Picard存在唯一性定理及其证明
教学难点
逐次逼近分析法的应用及其思想.
教学方法
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
一． 存在唯一性定理
1．定理1，考虑初值问题
dy?f(x,y) dx （3.1）
y(x0)?y0
其中f(x,y)在矩形区域
R： |x?x0|?a,|y?y0|?b （3.2）
上连续，并且对y满足Lipsthits条件：即存在常数L>0，使对所有
(x,y1),(x,y2)?R常存成立，
|f(x,y1)?f(x,y2)|?L|y1?y2|
则初值问题（cauchy问题）（3.1）在区间|x?x0|?h上解存在唯一，这里
h?min(a,b),M?max|f(x,y)|
(x,y)?RMxx0 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程y?y0??f(x,y)dy（3.5）的连续解。
2.构造（3.5）所得解函数序列{?n(x)}
任取一连续函数?0(x)，|?0(x?y0)|?b代入（3.5）左端的y，得
?1(x)?y0??f(x,?(x))dx?n(x)?n(x)
x0x?n?1(x)?y0??f(x,?n(x))dx,n?1,2?
x0x3.函数序列{?n(x)}在|x0?h,x0?h|上一致收敛到?(x)。这里为3
lim(x)y0?lim?f(x,?n(x))dx
n??n??x0x =y0??limf(x,?n(x))dx
x0n??x即
?n(x)?y0??limf(x,?n(x))x0n??x则则
需需
f(x,?n(x))?f(x,?(x))由于
|f(x,?n(x))?f(x,?(x))|?|?n??(x)|n?b(x)??(x0)由
?0(x)??(?k(x)??k?1(x))??n(x)从而{?k(x)}在[x0?h,x0?h]上的一收敛性等
k?1价于函数项级数
?0(x)??(?n(x)??n?1(x))在[x0?h,x0?h]一收敛性。
n?1?4．?(x)为（3.5）的连续解且唯一。首先在区间[x0,x0?h]是讨论，在[x0?h,x0上类似。
命题3.1 初值问题（3.1）等价于积分方程
y?y0??f(x,y)dx （3，5）
x0xProof:若y??(x)为（3.1）的解，则：
?d?(x)??f(x,?(x))?dx ? ?(x0)?y0?对第一式从x0到x取定积分可得
?(x)??(x0)??f(x,?(x))dx
x0x即?(x)?y0??f(x,?(x))dx
x0x反之，若y??(x)为（3.5）的连续解。，则有
?(x)?y0??f(x,?(x))dx
x0x由于对f(x,y)在R上连续，从而f(x,?(x))连续故对上两式两边求导得
d?(x)?f(x,?(x)) dx且?(x0)?y0??f(x,?(x))dx?y0即?(x)?y为（3.1）的连续解。
x0x下面取?(x0)?y0，构造picard逐步逼近函数如下：
第三章 一微分方程的解的存在定理
