中考数学 一元二次方程组 培优 易错 难题练习(含答案)含详细答案
一、一元二次方程
1.某建材销售公司在2019年第一季度销售A,B两种品牌的建材共126件,A种品牌的建材售价为每件6000元,B种品牌的建材售价为每件9000元.
(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,求至多销售A种品牌的建材多少件?
(2)该销售公司决定在2019年第二季度调整价格,将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调a%,B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨a%;同时,与(1)问中最低销售额的销售量相比,A种品牌的建材的销售量增加了减少了的值.
【答案】(1)至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30. 【解析】 【分析】
(1)设销售A品牌的建材x件,根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,列不等式求解;
(2)根据题意列出方程求解即可. 【详解】
(1)设销售A品牌的建材x件.
根据题意,得6000x?9000?126?x??966000, 解这个不等式,得x?56, 答:至多销售A品牌的建材56件.
(2)在(1)中销售额最低时,B品牌的建材70件, 根据题意,得
1a%,B种品牌的建材的销售量222a%,结果2019年第二季度的销售额比(1)问中最低销售额增加a%,求a3232?1??2???6000?1?a%??56?1?a%??9000?1?a%??70?1?a%???6000?56?9000?70??1?a%??2??3??23?,
2令a%?y,整理这个方程,得10y?3y?0,
解这个方程,得y1?0,y2?3, 10∴a1?0(舍去),a2?30, 即a的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.
2.解方程:x2-2x=2x+1. 【答案】x1=2-5 ,x2=2+5. 【解析】
试题分析:根据方程,求出系数a、b、c,然后求一元二次方程的根的判别式,最后根据
?b?b2?4ac求根公式x?求解即可.
2a2
试题解析:方程化为x-4x-1=0. ∵b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20,
∴x=4?20=2±5 , 2∴x1=2-5 ,x2=2+5.
3.将m看作已知量,分别写出当0
与之间的函数关系式;
4. y与x的函数关系式为:y=1.7x(x≤m);
或
( x≥m) ;
5.由图看出,用水量在m吨之内,水费按每吨1.7元收取,超过m吨,需要加收.
6.关于x的方程(k-1)x2+2kx+2=0
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.
2
(2)设x1,x2是方程(k-1)x+2kx+2=0的两个根,记S=
++ x1+x2,S的值能为2吗?
若能,求出此时k的值.若不能,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)S的值能为2,此时k的值为2. 【解析】
试题分析:(1) 本题二次项系数为(k-1),可能为0,可能不为0,故要分情况讨论;要保证一元二次方程总有实数根,就必须使△>0恒成立;(2)欲求k的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可. 试题解析:(1)①当k-1=0即k=1时,方程为一元一次方程2x=1, x=
有一个解;
②当k-1≠0即k≠1时,方程为一元二次方程, △=(2k)2-4×2(k-1)=4k2-8k+8=\ +4>0 方程有两不等根
综合①②得不论k为何值,方程总有实根 (2)∵x ?+x ?=
,x ? x ?=
∴S==
+
+ x1+x2
=
=
==2k-2=2, 解得k=2,
∴当k=2时,S的值为2 ∴S的值能为2,此时k的值为2.
考点:一元二次方程根的判别式;根与系数的关系.
7.解下列方程: (1)2x2-4x-1=0(配方法); (2)(x+1)2=6x+6. 【答案】(1)x1=1+【解析】
试题分析:(1)根据配方法解一元二次方程的方法,先移项,再加减一次项系数一半的平方,完成配方,再根据直接开平方法解方程即可;
(2)根据因式分解法,先移项,再提公因式即可把方程化为ab=0的形式,然后求解即可.
2
试题解析:(1)由题可得,x-2x=
66 (2) x1=-1,x2=5. ,x2=1-22132
,∴x-2x+1=.
22∴(x-1)2=∴x-1=±3. 236. =±
2266. ,x2=1-22∴x1=1+(2)由题可得,(x+1)2-6(x+1)=0,∴(x+1)(x+1-6)=0. ∴x+1=0或x+1-6=0. ∴x1=-1,x2=5.
8.沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动,据了解,某街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍. (1)求A社区居民人口至少有多少万人?
(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现:A社区有1.2万人知晓,B社区有1.5万人知晓,为了提高知晓率,街道工作人员用了两个月的时间加强宣传,A社区的知晓人数平均月增长率为m%,B社区的知晓人数第一个月增长了
4m%,第二月在第一个月的基础上又增长了2m%,两个月后,街道居民的知晓率达到592%,求m的值.
【答案】(1)A社区居民人口至少有2.5万人;(2)m的值为50. 【解析】 【分析】
(1)设A社区居民人口有x万人,根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可;
(2)A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%,据此列出关于m的方程并解答. 【详解】
解:(1)设A社区居民人口有x万人,则B社区有(7.5-x)万人, 依题意得:7.5-x≤2x, 解得x≥2.5.
即A社区居民人口至少有2.5万人;
2
(2)依题意得:1.2(1+m%)+1.5×(1+
44m%)+1.5×(1+m%)(1+2m%)=7.5×92%, 55解得m=50 答:m的值为50. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,找到题中相关数据的数量关系,列出不等式或方程.
9.某社区决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ,空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x为何值时,活动区的面积达到1344m2?
【答案】当x?13m时,活动区的面积达到1344m2
【解析】 【分析】
根据“活动区的面积=矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程,可解答. 【详解】
解:设绿化区宽为y,则由题意得
50?2x?30?2y.
即y?x?10
列方程: 50?30?4x(x?10)?1344 解得x1??3 (舍),x2?13.
∴当x?13m时,活动区的面积达到1344m2 【点睛】
本题是一元二次方程的应用题,确定等量关系是关键,本题计算量大,要细心.
10.关于x的方程kx??k?2?x?2k?0有两个不相等的实数根. 4?1?求实数k的取值范围;
?2?是否存在实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根?若存
在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)k??1且k?0;(2)不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根. 【解析】 【分析】
?1?由于方程有两个不相等的实数根,所以它的判别式
式,解不等式即可求出k的取值范围.
?0,由此可以得到关于k的不等
?2?首先利用根与系数的关系,求出两根之和与两根之积,再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根,可以得出关于k的等式,解出k值,然后判断k值是否在
?1?中的取值范围内.
【详解】
解:?1?依题意得?(k?2)?4k?2k?0, 4?k??1, 又k?0,
?k的取值范围是k??1且k?0;
?2?解:不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根,
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