中考数学 一元二次方程组 培优 易错 难题练习(含答案)含详细答案
一、一元二次方程
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售A,B两种品牌的建材共126件，A种品牌的建材售价为每件6000元，B种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调a%，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨a%；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了减少了的值.
【答案】（1）至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30. 【解析】 【分析】
（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A品牌的建材x件.
根据题意，得6000x?9000?126?x??966000， 解这个不等式，得x?56， 答：至多销售A品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材70件， 根据题意，得
1a%，B种品牌的建材的销售量222a%，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加a%，求a3232?1??2???6000?1?a%??56?1?a%??9000?1?a%??70?1?a%???6000?56?9000?70??1?a%??2??3??23?，
2令a%?y，整理这个方程，得10y?3y?0，
解这个方程，得y1?0,y2?3， 10∴a1?0（舍去），a2?30， 即a的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．解方程：x2－2x＝2x＋1. 【答案】x1＝2－5 ，x2＝2＋5. 【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据
?b?b2?4ac求根公式x?求解即可.
2a2
试题解析：方程化为x－4x－1＝0. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
∴x＝4?20＝2±5 ， 2∴x1＝2－5 ，x2＝2＋5.
3．将m看作已知量，分别写出当0
与之间的函数关系式；
4． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;
或
( x≥m) ；
5．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．
6．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
2
（2）设x1，x2是方程(k－1)x+2kx+2=0的两个根，记S=
++ x1+x2，S的值能为2吗？
若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2． 【解析】
试题分析：（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=
有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）2-4×2（k-1）=4k2-8k＋8=\ ＋4＞0 方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （2）∵x ?＋x ?＝
,x ? x ?=
∴S==
+
+ x1+x2
=
=
==2k-2=2， 解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2 ∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
7．解下列方程： (1)2x2－4x－1＝0(配方法)； (2)(x＋1)2＝6x＋6. 【答案】(1)x1＝1＋【解析】
试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.
2
试题解析：(1)由题可得，x－2x＝
66 (2) x1＝－1，x2＝5. ，x2＝1－22132
，∴x－2x＋1＝.
22∴(x－1)2＝∴x－1＝±3. 236. ＝±
2266. ，x2＝1－22∴x1＝1＋(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0. ∴x＋1＝0或x＋1－6＝0. ∴x1＝－1，x2＝5.
8．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍． （1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了
4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．
【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50． 【解析】 【分析】
（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答． 【详解】
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人， 依题意得：7.5-x≤2x， 解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
2
（2）依题意得：1.2（1+m%）+1.5×（1+
44m%）+1.5×（1+m%）（1+2m%）=7.5×92%， 55解得m=50 答：m的值为50． 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
9．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2?
【答案】当x?13m时，活动区的面积达到1344m2
【解析】 【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
50?2x?30?2y.
即y?x?10
列方程: 50?30?4x(x?10)?1344 解得x1??3 (舍)，x2?13.
∴当x?13m时，活动区的面积达到1344m2 【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
10．关于x的方程kx??k?2?x?2k?0有两个不相等的实数根． 4?1?求实数k的取值范围；
?2?是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存
在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）k??1且k?0；（2）不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】
?1?由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式
式，解不等式即可求出k的取值范围.
?0，由此可以得到关于k的不等
?2?首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在
?1?中的取值范围内.
【详解】
解：?1?依题意得?(k?2)?4k?2k?0， 4?k??1， 又k?0，
?k的取值范围是k??1且k?0；
?2?解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根，
中考数学 一元二次方程组 培优 易错 难题练习(含答案)含详细答案
