求圆锥曲线的方程
【复习要点】
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx+ny=1(m＞0,n＞0).
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】
x2y2【例1】 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点， ?4b22
2
|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b=_________.
解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|+|PF2|=2(|PO|+|F1O|)＜2(5+c), 即|PF1|+|PF2|＜50+2c,
又∵|PF1|+|PF2|=(|PF1|－|PF2|)+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|=4c ∴16+8c＜50+2c,∴c＜又∵c=4+b＜
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17, 351722
,∴b＜,∴b=1. 3320，椭圆C2的方程为 3【例2】 已知圆C1的方程为?x?2?2??y?1?2?x2a2?y2b2?1?a?b?0?，C2的离心率为
2，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为2圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。
解：由e?设椭圆方程为
2c22,得?,a?2c2,b2?c2. 2a2x22b2?y2b2?1.
yA由圆心为(2,1). 设A(x1,y1).B(x2,y2).?x1?x2?4,y1?y2?2.
F2OC1F1B又
2b2x12?b2y12?1,2b2x22?b2y22x?1,
两式相减，得
22x1?x22b2?22y1?y2b2?0.
(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0,
又x1?x2?4.y1?y2?2.得?直线AB的方程为y1?y2??1.
x1?x2y?1??(x?2)..
即y??x?3 将y??x?3代入x22b2?y2b2?1,得
3x2?12x?18?2b2?0.
?直线AB与椭圆C2相交.???24b2?72?0.
由AB?2x1?x2?2(x1?x2)2?4x1x2?20. 324b2?72?得2?3220. 3x2y2解得 b?8. 故所有椭圆方程??1.
168【例3】 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为相交于A、B两点，直线y=
2的椭圆C21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于2直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
a2?b21c222
?解法一：由e=?,得,从而a=2b,c=b. 22a2a设椭圆方程为x+2y=2b,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则x1+2y1=2b,x2+2y2=2b,两式相减得，
y?y2x?x22222
(x1－x2)+2(y1－y2)=0,1??1.
x1?x22(y1?y2)设AB中点为(x0,y0),则kAB=－
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x0, 2y0Byy=12x11又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,
22于是－
x0=－1,kAB=－1, 2y0F2oF1Ax设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′), ?y??1??x??1?x??b则? 解得?
???y?1?byx?b?????1?2?2由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)=2b,b=
222
929,a?. 1688x2162∴所求椭圆C的方程为?y =1,l的方程为y=－x+1.
99c2a2?b2122
解法二：由e=?,从而a=2b,c=b. ,得?2a22a设椭圆C的方程为x+2y=2b,l的方程为y=k(x－1), 将l的方程代入C的方程，得(1+2k)x－4kx+2k－2b=0, 则x1+x2=
4k21?2k22
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,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
2k1?2k2.
x1?x2y1?y21?k12k2直线l：y=x过AB的中点(),则, ??,2221?2k221?2k2解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.
解法3：设椭圆方程为
x2a2?y2b2?1(a?b?0)(1)
1x过AB中点矛盾。 2直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线y?故可设直线l的方程为y?k(x?1)(2)
(k2a2?b2)x2?2k2a2x?a2k2?a2b2?0(3) (2)代入(1)消y整理得：设A(x1，y1)B(x2，y2)，知：x1?x2?2k2a2k2a2?b2
又y1?y2?k(x1?x2)?2k代入上式得：2k2a2?b21b212k1，， ??k?k??k??，?k?2k?又e?2x1?x2222k2a2ka22?k??2b2a2??2(a2?c2)a2??2?2e2??1，?直线l的方程为y?1?x，
此时a2?2b2，方程(3)化为3x2?4x?2?2b2?0，??16?24(1?b2)?8(3b2?1)?0
?b?3，椭圆C的方程可写成：x2?2y2?2b2(4)，又c2?a2?b2?b2， 3?右焦点F(b，0)，设点F关于直线l的对称点(x0，y0)，
?y0?x?b?1??x0?1，y0?1?b， 则?0?y0?1?x0?b?2?21?2(1?b)?2b2，?b?又点(1，1?b)在椭圆上，代入(4)得：33， ?43?b2?99， a2? 168x2y2所以所求的椭圆方程为：??1
99816
【例4】 如图，已知△P1OP2的面积为
27，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线4OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为
13的双曲线方程. 2解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为由e=
2
x2a2?y2b2=1(a＞0,b＞0)
yP2b2132b3，得?1?()?()?. 2a2a2a33x和y=－x 22oP1Pxc2∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=
设点P1(x1,
33x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0), 22PP则由点P分P1P2所成的比λ=1=2,
PP2得P点坐标为(
x1?2x2x1?2x2,), 32又点P在双曲线所以
(x1?2x2)29a2
x2a2??4y29a29a2
=1上， =1,
2
(x1?2x2)222
2即(x1+2x2)－(x1－2x2)=9a,整理得8x1x2=9a ①
92139x1?x1,|OP|?x22?x22?42432?2tanP1Ox2?12sinP1OP2??1?tan2P1Ox1?9134111312?S?P1OP2?|OP1|?|OP2|?sinP1OP2??x1x2??22413又|OP1|?x12?13x22
27,4即x1x2=
9 2②
由①、②得a=4,b=9 x2y2故双曲线方程为=1. ?4922
【例5】 过椭圆C：
y2a2?x2b2?1(a?b?0)上一动点P引圆O：x +y =b的两条切线
222
PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x0，y0 )并且x0y0≠0，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且
a2|OM|2?b2|ON|2?25，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C16上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线PA：x1x?y1y?b2，PB：x2x?y2y?b2 ∵P点在切线PA、PB上，∴x1x0?y1y0?b2∴直线AB的方程为x0x?y0y?b2(x0y0?0)
b2b2(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，)
x0y022a2y0x0a225??(?)?2?∴ ①
16|OM|2|ON|2b2a2b2bx2x0?y2y0?b2
a2b2∵2b=8 ∴b=4 代入①得a=25, b =16
y2x2∴椭圆C方程：??1(xy?0) （注：不剔除xy≠0，可不扣分）
25162 2
(3) 假设存在点P(x0，y0)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，
22?y0?2b2 ① 四边形PAOB为正方形，|OP|=2|OA| ∴x022?b2y0?a2b2 ② 又∵P点在椭圆C上 ∴a2x0由①②知
2x0?b2(a2?2b2)a2?b22
2
,2y0?a2b2a2?b2
∵a>b>0 ∴a －b>0
(1)当a－2b>0，即a>2b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；
(2)当a－2b<0，即b 2 2 2 2
高考数学圆锥曲线专题复习
