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§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}， ∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件． 答案：C
2．已知命题p：?n∈N,2＞1 000，则綈p为( )． A．?n∈N,2≤1 000 C．?n∈N,2≤1 000
nnnB．?n∈N,2＞1 000 D．?n∈N,2＜1 000
nn解析 特称命题的否定是全称命题．即p：?x∈M，p(x)，则綈p：?x∈M，綈p(x)．故选A. 答案 A
3．命题“若－1＜x＜1，则x＜1”的逆否命题是( ) A．若x≥1或x≤－1，则x≥1 B．若x<1，则－1
解析：若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x≥1，则x≥1或x≤－1”． 答案：D
4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2222
22
1
解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin
260°＝
3
，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满2
足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件． 答案 D
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【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效. 5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析：否命题是既否定题设又否定结论． 答案：B
6．设集合M＝{1,2}，N＝{a}，则“a＝1”是“N?M”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N?M，则条件具有充分性；当N?M时，有a＝1或a2
2
2
＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N?M”的充分不必要条件． 答案：A
7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a＋b－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )． A．必要而不充分的条件 C．充要条件
2
2
2
2
B．充分而不必要的条件 D．既不充分也不必要的条件
解析 若φ(a，b)＝0，即a＋b＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，
ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.
答案 C 二、填空题
8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______
?14??,??答案：?23?
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9．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； (2)“若a＞b，则a＞b”的逆否命题； (3)“若x≤－3，则x＋x－6＞0”的否命题． 其中真命题的个数为________(填序号)．
解析 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假． 答案 1
10．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数． 根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．
??0，x∈－1，0]，
解析 设D＝(－1,1)，f(x)＝?
??x，x∈0，1，?x，x∈－1，0]，?
g(x)＝?
??0，x∈0，1，
22
2
显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与
g(x)都不是D上的零函数．
答案 充分不必要
11．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件． 解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝可得cos θ＝
a·b>0，即a·b>0；由a·b>0
|a|·|b|a·b>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．
|a|·|b|答案：充分不必要
12．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1?θ∈?0，p2：|a＋b|＞1?θ∈?
??
2π?
3??
?2π，π? ?
?3???
π?
p3：|a－b|＞1?θ∈?0，?
3
?
??p4：|a－b|＞1?θ∈?，π?
?
其中真命题的个数是____________．
122解析 由|a＋b|＞1可得a＋2a·b＋b＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故θ21?2π??2π?222∈?0，?.当θ∈?0，?时，a·b＞－，|a＋b|＝a＋2a·b＋b＞1，即|a＋b|＞1，
3?3?2??
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命题及其关系充分条件与必要条件练习题
