利用导数研究函数的单调性、极值、最值

利用导数研究函数的单调性、极值、最值

1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )

A.(-∞,2) 答案D 解析函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.

由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式

B.(0,3) C.(1,4)

D.(2,+∞)

f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.

2.(2018广东东莞考前冲刺)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则( ) A.f(x)有极大值-1 C.f(x)有极大值0 答案A 解析∵x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,∴f'(1)=0,

B.f(x)有极小值-1 D.f(x)有极小值0

∴a+=0,∴a=-1. ∴f'(x)=-1+=0?x=1.

当x>1时,f'(x)<0,当00,因此f(x)有极大值-1.

3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)

f(x)>2ex的解集为( ) A.(-∞,0) 答案C 解析设g(x)=,则g'(x)= B.(-∞,2) C.(0,+∞)

D.(2,+∞)

.

∵f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.

1

∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,

∴不等式f(x)>2ex等价于g(x)>g(0). ∵函数g(x)在定义域内单调递增. ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C.

4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )

答案D 解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,

且x1<0

所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)内,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)内,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.

一、

1.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f值是 .

【解题指南】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小

2

=2sinx+sin2x,则f的最小

值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值. 【

解

析

】

方

法

一

,

:f′(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1)所以当cosx<时函数单调减,当cosx>时函数单调增, 从而得到函数的减区间为函数的增区间为

(k∈Z),

(k∈Z),

所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值, 此时sinx=-,sin2x=-, 所以f(x)min=2×

-=-.

方法二:因为f(x)=2sinx+sin2x,所以f(x)最小正周期为T=2π, 所以f′(x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+cosx-1), 令f′(x)=0,即2cos2x+cosx-1=0, 所以cosx=或cosx=-1.

所以当cosx=,为函数的极小值点,即x=或x=π, 当cosx=-1,x=π, 所以f答案:-=-

,f=

,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f(x)的最小值为-

.

二、解答题

3