点评：类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x(x∈N)，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数．
知能训练
1．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是( )
图2
解析：当x≥0时，y＝a|x|＝ax的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B
2．下列关系中正确的是( )
2?1?32?1?31?1?3A．???????? ?2??5??2?2?1?32?1?3B．?1?1?3??????? ?2??2??5?2?1?3C．???????? 5???2??2?2?1?31?1?32?1?3D．???????? ?5??2??2?2?1?31?1?3答案：D
3．已知函数f(x)的定义域是(0,1)，那么f(2x)的定义域是( ) 1?
A．(0,1) B．??2，1? C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x＜1，即0＜2x＜20，所以x＜0，即x∈(－∞，0)． 答案：C
4．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( )
A．AB B．A
B C．A＝B D．A∩B＝?
B.
解析：A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≥0}，所以A答案：A
5．对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2)，有如下的结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③
f(x1)－f(x2)x1＋x2?f(x1)＋f(x2)
＞0；④f?. 2?2?＜x1－x2
当f(x)＝10x时，上述结论中正确的是__________． 解析：因为f(x)＝10x，且x1≠x2，所以f(x1＋x2)＝10以①正确；
因为f(x1·x2)＝10x1?x2x1?x2f(x2)，所?101?102＝f(x1)·
xx?101?102＝f(x1)＋f(x2)，②不正确；
xx因为f(x)＝10x是增函数，所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号， f(x1)－f(x2)
所以＞0，所以③正确．
x1－x2
因为函数f(x)＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．
图3
答案：①③④
另解：④.∵10x1＞0,10x2＞0，x1≠x2，
101?10∴
2即
xx2?10?10x2x1?x2x1x2101?10.∴
2xx2?101x?x2，
10?102x1?102f(x1)＋f(x2)?x1＋x2?.∴＞f
2?2?.
拓展提升
在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系．
(1)①y＝3x，②y＝3x1，③y＝3x1；
＋
－
1?x?1?x－1，③y＝?1?x＋1. (2)①y＝?，②y＝?2??2??2?
活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．
解：如图4及图5.
观察图4可以看出，y＝3x，y＝3x1，y＝3x
＋
－1
的图象间有如下关系：
y＝3xy＝3xy＝3x
＋1－1－1
的图象由y＝3x的图象左移1个单位得到； 的图象由y＝3x的图象右移1个单位得到； 的图象由y＝3x
＋1
的图象向右移动2个单位得到．
1?x
?1?x－1，y＝?1?x＋1的图象间有如下关系： 观察图5可以看出，y＝?，y＝?2??2??2?1?x＋1
?1?x的图象左移1个单位得到； y＝?的图象由y＝?2??2?1?x－1
?1?x的图象右移1个单位得到； y＝?的图象由y＝?2??2?1?x－1
?1?x＋1的图象向右移动2个单位得到． y＝?的图象由y＝?2??2?你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．
课堂小结
思考
本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上. 活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．
本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．
作业
课本习题2.1 B组 1,3,4.
设计感想
本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．
第3课时 指数函数及其性质的应用(2)
导入新课
思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x1，③y＝3x
＋
－1
的图
象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝ax与y＝ax
＋m
(a＞0，m∈R)
有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．
思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．
推进新课
新知探究 提出问题
(1)指数函数有哪些性质？
(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？ (3)对复合函数，如何证明函数的单调性？ (4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．
讨论结果：(1)指数函数的图象和性质
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1 图 象 图象分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方 图 象 特 征 都过点(0,1) 第一象限的点的纵坐标都大于1；第一象限的点的纵坐标都大第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1 从左向右图象逐渐上升 于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1 从左向右图象逐渐下降 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) 性 质 (3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 (4)x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 (5)在R上是增函数 (2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是： ①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．
④判断．根据单调性定义作出结论． (3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数； 当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数； 又简称为口诀“同增异减”．
(4)x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 (5)在R上是减函数
人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》教学设计(含答案)
