8 X21/2 1 4
0 -2
0 0 400 0 0 -3200
检验数 -1
x*=(0,400)T； Z*=3200;
14、已知线性规划问题
maxz=10x1+5x2
s.t. 3x1+4x2≤9 5x1+2x2≤8 x1,x2≥0
用单纯形法求得最终单纯形表如表2-4所示，试用灵敏度分析的方法分别判断： (1) 目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动，现最优解不变；
(2) 约束条件右端常数b1,b2中，当保持一个不变时，另一个在什么范围内变化，现有的最优基不变；
(3) 问题的目标函数变为
maxz=12x1+4x2 时，最优解有什么变化；
?9??11?
??变为(4) 约束条件右端常数项由??8??19??时，最优解有什么变化？ ????
表2-4
cj
38 0 0 b
3/2 1
cB xB x15 x2 010 x1 1检验数 0
解：1）. C1变化时，
x2x3 x4 -3/142/7
1 5/140 -1/7
0 -5/14-25/14-25/2
16
1?5
?5+C≤01?1525?147 ? ?≤C1≤
3242?5+C≤0
1
?7?14
C2变化时，
5?10
?C≤02?40?714
??4≤C1≤
2033??+C≤02?714?
2）若b1不变，则b2’=8+△b
'XB=B?1b+B?1??b
?33?
?3/2??5/14?3/14??0??2?14??b?0≥=?+=????1/72/7????b??21???????1+??b?
???7?
得：?3.5≤b≤7?4.5≤b≤15 b1=9+??b, b2不变 XB=B?1b+B?1??b
?35?+??b ?3/2??5/14?3/14????b??214?
=??≥0?+??1/72/7??0?=?11???????1???b?
???7?
得：?4.2≤b≤7?4.8≤b≤16 3）初始表 C CB0 0
XBX3X4
-3 -2 X1
X2
-1 0 b X3
X4
3 4 5 2
1 0 9 0 1 8 0 0 0
检验数 12 4 0
X3
0 14/5 1 1 21/5 1 2/5 0 0 8/5
12 X1
检验数 0 -4/5 0 0 -96/5
17
T x*=（8/5,0,21/5,0）
4） b1 →11 ，b2 →9 C CB0 0
XBX3X4
-3 -2 -1 X1
X2
X3
0 X40 1 0
11 9 0 b
3 4 1 5 2 0
检验数 10 5 0 0
X3
0 1 5/14 -3/14 2 1 0 -1/7 1
1
12 X1
检验数 0 0 -5/14 -25/14 -20
T x*=（1,2,0,0）
15、已知线性规划问题
表2-5
maxz=2x1?x2+x3 s.t.
x1+x2+x3≤6
?x1+x2≤4
cj
cBxB2 x10 x5检验数
3 8 0 0 1 1 -2
0 0 1 0
x1
1 0 0
x21 3 -3
x31 1 -1
x4 x5
b
6 10 -12
试分别xj≥0(j=1,2,3)用单纯形法求得最终单纯形表如表2-5所示，
求当下列情况发生时的最优解：
(1) 目标函数变为 maxz=2x1+3x2+x3；
?6??3?
??变为(2) 约束条件右端项由??4??4??； ????(3) 增加一个新的约束条件 ?x1+2x2≥2
18
解：由表知C2的影响范围为C2∈（-∞，2]
∴当目标函数变为maxz=2x1+3x2+x3时，最优解将发生变化 C CB
XB
2 3 1 X1X2X31 1 1 0 3
1
0 X41 1 -2
0 X56 1 0
6 10 B
2 X10 X5
检验数 0 1 -1 2 X13 X2
1 0 2/3 2/3 -1/38/3 0 1 1/3 1/3 1/3 10/3
检验数 0 0 -4/3-7/3 -1/3-46/3 ∴x*=(8/3,10/3,0)T； Z*=46/3;
??3??10?-1
(2)Δb=?? B=??
?0??11?
??1033??????
Δb'=B-1Δb=????=??
11???0???3?C CB
XB
2 3 1 0 0 b X1X2
X3
X4
X5
2 X10 X5
1 1 1 1 0 3 0 3
1 1 1 7
检验数 0 -3 -1-2 0 -6 x*=(3，0，0,0，7)T； Z*=6;
（3）把x*=(6，0，0,0，10)T代入约束条件?x1+3x2≥2
∵-6+0≥2不成立，∴该问题的最优解将发生变化，
x1?2x2+x6=?2C CB2 0 0
XBX1X5X6
2 -1 1 X1X2
X3
0 X41 1 0
0 0 X5X60 0 1 0 0 1
6 10 -2 B
1 1 1 0 3 1 1 -2 0
19
检验数 0 -3 -1 -2 0 0 2 0 0
X1X5X6
1 1 1 0 3 1
1 1
0 0 1 0
6 10 -8
0 -3 -1 -1 0 1
检验数 0 -3 -1 -2 0 0 2 0
X1X5
1 0 2/32/3 0 1/3 10/3 0 0 0
0
1 1
2
-1 X20 1 1/31/3 0 -1/38/3
0
0 -1
-12/3
检验数 0 0 0
x*=(10/3，8/3，0,0，2)T； Z*=4;
16、已知线性规划问题
maxz=?5x1+5x2+13x3
s.t. ?x1+x2+3x3≤20 A 12x1+4x2+10x3≤90 B
xj≥0(j=1,2,3)
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化： (1) 约束条件B的右端项由90变为70； (2) 目标函数中x3的系数由13变为8；
??5???2?
????
(3) 变量x1的系数（包括目标函数）由??1?变为?0?；
?12??5?????
?5??6?????
(4) 变量x2的系数（包括目标函数）由?1?变为?2?；
?4??5?????
20
运筹学 线性规划的对偶理论复习题
