学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A.y2＝－2x C.x2＝2y
B.y2＝2x D.x2＝－2y
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
【答案】 B
x2y2
2.以双曲线16－9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A.y2＝16x C.y2＝8x
B.y2＝－16x D.y2＝－8x
x2y2
【解析】 因为双曲线16－9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
【答案】 A
x2y2
3.已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )
【导学号：37792082】
A.2 C.2
B.3 D.23
b
【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c＝3.双曲线的渐近线方程为y＝ab
x，由a＝2，即b＝2a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝3，即离心率为3.
【答案】 B
1
y2x2
4.抛物线y＝12x的准线与双曲线3－9＝－1的两条渐近线所围成的三角形
2
的面积为( )
A.33 C.2
B.23 D.3
3
【解析】 抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±3x，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.
【答案】 A
5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A.|EP1|＋|FP2|＝|FP3| B.|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C.2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D.|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
ppp【解析】 |FP1|＝x1＋2，|FP2|＝x2＋2，|FP3|＝x3＋2， ∵2x2＝x1＋x3， ∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|. 【答案】 C 二、填空题
6.抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________.
1?1?
【解析】 抛物线y2＝2x的焦点为F?2，0?，准线方程为x＝－2，设A(x1，
??11
y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】 2
7.对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
1
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
【导学号：37792083】
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，p57
y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋2＝1＋2＝2≠6，所以③不满足；由于抛物?5??5?线y2＝10x的焦点为?2，0?，过该焦点的直线方程为y＝k?x－2?，若由原点向该
????直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.
【答案】 ②④
8.抛物线y＝2x2的准线方程为________.
1p1
【解析】 化方程为标准方程为x＝2y，故2＝8，开口向上，
2
1
∴准线方程为y＝－8. 1
【答案】 y＝－8 三、解答题
x2y2
9.求焦点在x轴上，且焦点在双曲线4－2＝1上的抛物线的标准方程. 【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)， ?m?
则焦点为?2，0?.
??
x2y2
∵焦点在双曲线4－2＝1上， m2∴＝1，求得m＝±4， 4×4
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
10.已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
【导学号：37792084】
【解】 法一 设点P的坐标为(x，y)， 则有?x－1?2＋y2＝|x|＋1. 两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
1
?4x?x≥0?，∴y＝?
?0?x＜0?，
2
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).
法二 由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0).
[能力提升]
1.已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A.22 C.2
B.4 32D.2＋1
【解析】 将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为
【答案】 A
2.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )
A.22 C.4
B.23 D.25
|1＋0＋3|
＝22，故选A. 22
1＋1
【解析】 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， p?p?
则焦点坐标为?2，0?，准线方程为x＝－2，
??
p
∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋2＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，
∵M(2，y0)在抛物线上，∴y20＝8，
2∴|OM|＝22＋y0＝22＋8＝23.
1
【答案】 B
3.如图2-4-2是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽________m.
图2-4-2
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0). 则A(2，－2)，代入方程得p＝1， ∴抛物线的方程为x2＝－2y，
设B(x0，－3)(x0<0)代入方程得x0＝－6. ∴此时的水面宽度为26 m. 【答案】 26
x2y2
4.已知抛物线y＝2px(p>0)的准线过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，
2
?226?
?是两条曲线的一个公共点. 点M?，－
3??3
(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程.
【导学号：37792085】
?226?
?代入方程y2＝2px， 【解】 (1)把M?，－
3??3得p＝2，
因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1,0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1,0)，
1
圆锥曲线限时训练1带答案
