学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-2)的抛物线的标准方程是( ) A.y2=-2x C.x2=2y
B.y2=2x D.x2=-2y
【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax,则(-2)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.
【答案】 B
x2y2
2.以双曲线16-9=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A.y2=16x C.y2=8x
B.y2=-16x D.y2=-8x
x2y2
【解析】 因为双曲线16-9=1的右顶点为(4,0),即抛物线的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的标准方程为y2=16x.
【答案】 A
x2y2
3.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线y2=43x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( )
【导学号:37792082】
A.2 C.2
B.3 D.23
b
【解析】 抛物线的焦点为(3,0),即c=3.双曲线的渐近线方程为y=ab
x,由a=2,即b=2a,所以b2=2a2=c2-a2,所以c2=3a2,即e2=3,e=3,即离心率为3.
【答案】 B
1
y2x2
4.抛物线y=12x的准线与双曲线3-9=-1的两条渐近线所围成的三角形
2
的面积为( )
A.33 C.2
B.23 D.3
3
【解析】 抛物线y2=12x的准线为x=-3,双曲线的两条渐近线为y=±3x,它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形,所以面积为33,故选A.
【答案】 A
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( )
A.|EP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
ppp【解析】 |FP1|=x1+2,|FP2|=x2+2,|FP3|=x3+2, ∵2x2=x1+x3, ∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 【答案】 C 二、填空题
6.抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是________.
1?1?
【解析】 抛物线y2=2x的焦点为F?2,0?,准线方程为x=-2,设A(x1,
??11
y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=5,解得x1+x2=4,故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】 2
7.对于标准形式的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
1
其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
【导学号:37792083】
【解析】 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;设M(1,p57
y0)是y2=10x上的一点,则|MF|=1+2=1+2=2≠6,所以③不满足;由于抛物?5??5?线y2=10x的焦点为?2,0?,过该焦点的直线方程为y=k?x-2?,若由原点向该
????直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.
【答案】 ②④
8.抛物线y=2x2的准线方程为________.
1p1
【解析】 化方程为标准方程为x=2y,故2=8,开口向上,
2
1
∴准线方程为y=-8. 1
【答案】 y=-8 三、解答题
x2y2
9.求焦点在x轴上,且焦点在双曲线4-2=1上的抛物线的标准方程. 【解】 由题意可设抛物线方程为y2=2mx(m≠0), ?m?
则焦点为?2,0?.
??
x2y2
∵焦点在双曲线4-2=1上, m2∴=1,求得m=±4, 4×4
∴所求抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
10.已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
【导学号:37792084】
【解】 法一 设点P的坐标为(x,y), 则有?x-1?2+y2=|x|+1. 两边平方并化简,得y2=2x+2|x|.
1
?4x?x≥0?,∴y=?
?0?x<0?,
2
即点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
法二 由题意知,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件;当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
[能力提升]
1.已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )
A.22 C.2
B.4 32D.2+1
【解析】 将P点到直线l1:x=-1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离,过点F作直线l2的垂线,交抛物线于点P,此即为所求最小值点,∴P到两直线的距离之和的最小值为
【答案】 A
2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )
A.22 C.4
B.23 D.25
|1+0+3|
=22,故选A. 22
1+1
【解析】 设抛物线方程为y2=2px(p>0), p?p?
则焦点坐标为?2,0?,准线方程为x=-2,
??
p
∵M在抛物线上,∴M到焦点的距离等于到准线的距离,即2+2=3,p=2,抛物线方程为y2=4x,
∵M(2,y0)在抛物线上,∴y20=8,
2∴|OM|=22+y0=22+8=23.
1
【答案】 B
3.如图2-4-2是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽________m.
图2-4-2
【解析】 以拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0). 则A(2,-2),代入方程得p=1, ∴抛物线的方程为x2=-2y,
设B(x0,-3)(x0<0)代入方程得x0=-6. ∴此时的水面宽度为26 m. 【答案】 26
x2y2
4.已知抛物线y=2px(p>0)的准线过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1,
2
?226?
?是两条曲线的一个公共点. 点M?,-
3??3
(1)求抛物线的方程; (2)求双曲线的方程.
【导学号:37792085】
?226?
?代入方程y2=2px, 【解】 (1)把M?,-
3??3得p=2,
因此抛物线的方程为y2=4x.
(2)抛物线的准线方程为x=-1,所以F1(-1,0),设双曲线的右焦点为F,则F(1,0),
1
圆锥曲线限时训练1带答案
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